A vazão de um canal horizontal de irrigação, com distância do jato d’água igual a 30 cm é dada em função do diâmetro do tubo
, sendo
. Pergunta-se qual o valor do diâmetro dessa tubulação? Represente graficamente a relação dessa função.
Passo 1
O enunciado fornece a função vazão em função do diâmetro:
As perguntas são:
- Qual é o valor do diâmetro dessa tubulação? (interpreto que se quer o diâmetro que torna a vazão ótima — explico isso nos próximos passos);
- Representar graficamente a relação
.
Informações relevantes dadas:
- A expressão matemática da vazão
acima. - Não foram dadas unidades explícitas para
nem para no enunciado (há uma menção a “30 cm” no enunciado, mas essa quantidade não aparece na fórmula; por isso prosseguirei encontrando o diâmetro que otimiza e representando o gráfico da função).
Passo 2
Entender o que a função é:
é um polinômio quadrático em
. A forma geral de uma quadrática é
onde
,
e
são constantes. No nosso caso
,
,
.
Propriedade importante: se
a parábola abre para baixo e a função tem um máximo (vértice); se
abre para cima e tem um mínimo. Como aqui
,
tem um único valor máximo em um certo
(vértice). Para responder “qual o valor do diâmetro” vamos encontrar o vértice da parábola — esse é o
que torna
máximo.
Passo 3
Fórmula do vértice (explicação e derivação curta): para
o eixo de simetria (abscissa do vértice) é
Motivo rápido (intuição): essa fórmula decorre de completar o quadrado ou derivando a função e igualando a zero (se souber derivada). Vou mostrar completando o quadrado passo a passo com a nossa função:
Começo com
Fatorando o coeficiente de
:
Completo o quadrado dentro do parêntese:
. Então
Distribuindo o sinal:
Essa forma já é muito informativa:
. Qualquer quadrado é
, então
. Assim o maior valor possível de
é
, obtido quando
, ou seja, quando
.
Passo 4
Concluindo a busca do diâmetro ótimo:
O valor máximo da vazão é
Como
, esse ponto é realmente um máximo. Note que a função atinge o valor máximo
em
(matematicamente correto, embora fisicamente possa indicar que a expressão modela alguma grandeza deslocada ou que as unidades/constantes reais não estejam explícitas).
Passo 5
Calcular pontos úteis para desenhar o gráfico e entender a forma da parábola.
Raízes (zeros) da função: resolver
.
Da forma completa do quadrado vimos que
Da forma completa do quadrado vimos que
logo a única raiz é
(raiz dupla). Portanto a parábola toca o eixo horizontal em
.
Intercepto em
(valor em
quando
):
Alguns outros pontos simétricos ao redor do vértice para traçar bem a curva:
Passo 6
Como representar graficamente (passo a passo prático que dá para fazer à mão na prova):
- Desenhe um sistema de eixos: eixo horizontal para
(diâmetro) e eixo vertical para . - Marque o vértice em
. Esse é o ponto mais alto da curva. - Marque o intercepto em
. - Marque os pontos simétricos:
. - Trace uma curva suave em forma de parábola que passa por esses pontos, abrindo para baixo e tocando o eixo horizontal em
(raiz dupla). - O eixo de simetria é a reta vertical
.
Observação visual rápida: a parábola é exatamente a forma
, ou seja, é o negativo de um quadrado deslocado para a direita em 3 unidades; sua “ponta” está em
e todo o resto fica em valores
.
Passo 7
Interpretação rápida e incentivo: matematicamente o diâmetro que torna
máximo é
. Se a menção a “30 cm” no enunciado deveria indicar unidade, verifique se
está em centímetros; nesse caso
. Se o professor esperava outro uso do número
, pode haver ambiguidade no enunciado; aqui resolvi da maneira mais natural (achar o vértice da parábola). Você está indo bem — essa é a técnica padrão para quadráticas!
Resposta
Gráfico: parábola
, vértice em
, raiz dupla em
, intercepto em
; pontos auxiliares
.