A vazão de um canal horizontal de irrigação, com distância do jato d’água igual a 30 cm é dada em função do diâmetro do tubo \boldsymbol{d}, sendo \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{d})=-\mathbf{d}^{\mathbf{2}}+\mathbf{6 d}-\mathbf{9}. Pergunta-se qual o valor do diâmetro dessa tubulação? Represente graficamente a relação dessa função.

Passo 1

O enunciado fornece a função vazão em função do diâmetro:
Q(d) = -d^{2} + 6d - 9.
As perguntas são:
  • Qual é o valor do diâmetro dessa tubulação? (interpreto que se quer o diâmetro que torna a vazão ótima — explico isso nos próximos passos);
  • Representar graficamente a relação Q(d).
Informações relevantes dadas:
  • A expressão matemática da vazão Q(d) acima.
  • Não foram dadas unidades explícitas para d nem para Q no enunciado (há uma menção a “30 cm” no enunciado, mas essa quantidade não aparece na fórmula; por isso prosseguirei encontrando o diâmetro que otimiza Q(d) e representando o gráfico da função).

Passo 2

Entender o que a função é: Q(d) é um polinômio quadrático em d. A forma geral de uma quadrática é
Q(d)=a d^{2}+b d + c,
onde a, b e c são constantes. No nosso caso a=-1, b=6, c=-9.
Propriedade importante: se a<0 a parábola abre para baixo e a função tem um máximo (vértice); se a>0 abre para cima e tem um mínimo. Como aqui a=-1<0, Q(d) tem um único valor máximo em um certo d (vértice). Para responder “qual o valor do diâmetro” vamos encontrar o vértice da parábola — esse é o d que torna Q(d) máximo.

Passo 3

Fórmula do vértice (explicação e derivação curta): para Q(d)=a d^{2}+b d + c o eixo de simetria (abscissa do vértice) é
d_{v} = -\frac{b}{2a}.
Motivo rápido (intuição): essa fórmula decorre de completar o quadrado ou derivando a função e igualando a zero (se souber derivada). Vou mostrar completando o quadrado passo a passo com a nossa função:
Começo com
Q(d) = -d^{2} + 6d - 9.
Fatorando o coeficiente de d^{2}:
Q(d) = -(d^{2} - 6d) - 9.
Completo o quadrado dentro do parêntese: d^{2}-6d = d^{2}-6d+9 -9 = (d-3)^{2}-9. Então
Q(d) = -\bigl((d-3)^{2}-9\bigr) - 9.
Distribuindo o sinal:
Q(d) = -(d-3)^{2} + 9 - 9 = -(d-3)^{2}.
Essa forma já é muito informativa: Q(d)=-(d-3)^{2}. Qualquer quadrado é \ge 0, então -(d-3)^{2}\le 0. Assim o maior valor possível de Q é 0, obtido quando (d-3)^{2}=0, ou seja, quando d=3.

Passo 4

Concluindo a busca do diâmetro ótimo:
d_{v}=3.
O valor máximo da vazão é
Q(3)=-(3-3)^{2}=0.
Como a=-1<0, esse ponto é realmente um máximo. Note que a função atinge o valor máximo 0 em d=3 (matematicamente correto, embora fisicamente possa indicar que a expressão modela alguma grandeza deslocada ou que as unidades/constantes reais não estejam explícitas).

Passo 5

Calcular pontos úteis para desenhar o gráfico e entender a forma da parábola.
Raízes (zeros) da função: resolver Q(d)=0.
Da forma completa do quadrado vimos que
Q(d)=-(d-3)^{2},
logo a única raiz é d=3 (raiz dupla). Portanto a parábola toca o eixo horizontal em d=3.
Intercepto em d=0 (valor em Q quando d=0):
Q(0) = -0^{2}+6\cdot0-9 = -9.
Alguns outros pontos simétricos ao redor do vértice para traçar bem a curva:
Q(1) = -(1-3)^{2} = -4,
Q(2) = -(2-3)^{2} = -1,
Q(4) = -(4-3)^{2} = -1,
Q(5) = -(5-3)^{2} = -4,
Q(6) = -(6-3)^{2} = -9.

Passo 6

Como representar graficamente (passo a passo prático que dá para fazer à mão na prova):
  • Desenhe um sistema de eixos: eixo horizontal para d (diâmetro) e eixo vertical para Q(d).
  • Marque o vértice em (3,0). Esse é o ponto mais alto da curva.
  • Marque o intercepto em (0,-9).
  • Marque os pontos simétricos: (1,-4), (2,-1), (4,-1), (5,-4), (6,-9).
  • Trace uma curva suave em forma de parábola que passa por esses pontos, abrindo para baixo e tocando o eixo horizontal em d=3 (raiz dupla).
  • O eixo de simetria é a reta vertical d=3.
Observação visual rápida: a parábola é exatamente a forma Q(d)=-(d-3)^{2}, ou seja, é o negativo de um quadrado deslocado para a direita em 3 unidades; sua “ponta” está em (3,0) e todo o resto fica em valores Q(d)\le 0.

Passo 7

Interpretação rápida e incentivo: matematicamente o diâmetro que torna Q(d) máximo é d=3. Se a menção a “30 cm” no enunciado deveria indicar unidade, verifique se d está em centímetros; nesse caso d=3\\ \text{cm}. Se o professor esperava outro uso do número 30, pode haver ambiguidade no enunciado; aqui resolvi da maneira mais natural (achar o vértice da parábola). Você está indo bem — essa é a técnica padrão para quadráticas!

Resposta

d=3
Gráfico: parábola Q(d)=-(d-3)^{2}, vértice em (3,0), raiz dupla em d=3, intercepto em Q(0)=-9; pontos auxiliares (1,-4),(2,-1),(4,-1),(5,-4),(6,-9).

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