Esboce os gráficos das seguintes funções:
y=|x-6|

Passo 1

O enunciado pede: esboçar o gráfico da função y=|x-6|.
Informações dadas: a expressão \,y=|x-6|\,.
O que se espera obter no esboço: formato geral do gráfico, vértice, interceptos, direção dos ramos e domínio/imagem.

Passo 2

Definição e interpretação do valor absoluto (aula rápida e concreta).
O valor absoluto de um número a\) é \[|a| = \begin{cases} a, & \text{se } a\ge 0,\\[4pt] -a, & \text{se } a<0. \end{cases}
Isso significa que |a|\] sempre é não negativo: \(|a|\ge 0. Graficamente, |x| é um “V” com vértice em (0,0), descendo com inclinação -1 à esquerda e subindo com inclinação +1 à direita.]

Passo 3

Escrevendo \,y=|x-6|\,\) em forma por partes (passo importante para desenhar): aplicar a definição com \(a=x-6\). \[y = |x-6| = \begin{cases} -(x-6)=6-x, & \text{se } x-6<0\\ (\text{i.e. } x<6),\\[4pt] x-6, & \text{se } x-6\ge 0\\ (\text{i.e. } x\ge 6). \end{cases}
Explicação: para x<6\] o conteúdo \(x-6 é negativo, então o módulo troca o sinal; para x\ge6 o conteúdo já é não negativo e mantém-se.]

Passo 4

Interpretação geométrica por transformação.
A função \,y=|x-6|\, é exatamente a função \,y=|x|\, deslocada 6 unidades para a direita. Assim o vértice (ponto de mínimo) de |x| em (0,0) vai para (6,0). Portanto o gráfico será um “V” com vértice em (6,0).

Passo 5

Pontos e interceptos úteis para esboçar (calculei estes valores diretamente da expressão, veja):
  • Vértice: (6,0) porque |6-6|=0.
  • Interseção com o eixo y (quando x=0): \,y=|0-6|=6, ponto (0,6).
  • Interseção com o eixo x: resolver |x-6|=0 x=6, ponto (6,0).
  • Mais alguns pontos para marcar a forma do “V”: (4,2) pois |4-6|=2; (5,1) pois |5-6|=1; (7,1) pois |7-6|=1; (8,2) pois |8-6|=2.

Passo 6

Declarações sobre monotonicidade, inclinações, domínio e imagem (essas propriedades ajudam no esboço na prova):
  • Para x<6: a expressão é y=6-x, que é uma reta com inclinação -1 (ou seja, desce para a direita).
  • Para x\ge6: a expressão é y=x-6, reta com inclinação +1 (sobe para a direita).
  • Domínio: \mathbb{R} (toda a reta real).
  • Imagem (contradomínio efetivo): [0,\infty), porque módulo nunca é negativo e atinge 0 no vértice.
  • Simetria: o gráfico é simétrico em torno da vertical x=6 (é como um |x| centrado em x=6).

Passo 7

Como esboçar passo a passo na folha (dica prática para a prova):
  1. Desenhar eixos x e y. Marcar x=6 e y=6 com escala consistente.
  2. Plotar o vértice (6,0) e o ponto (0,6).
  3. Plotar mais dois pontos de cada lado, por exemplo (5,1), (4,2) à esquerda e (7,1), (8,2) à direita.
  4. Traçar duas semirretas ligando esses pontos: uma reta passando por (\ldots,2),(5,1),(6,0) estendendo para a esquerda com inclinação -1; outra passando por (6,0),(7,1),(8,2) estendendo para a direita com inclinação +1. Colocar setas nas extremidades.
  5. Conferir: a forma final é um “V” com mínimo em (6,0), valor mínimo 0 e ramos com inclinações -1 e +1.

Passo 8

Exemplo rápido (confirmação numérica): calcular |-2-6|=| -8|=8 mostra que à esquerda muito além de 6 os valores aumentam; calcular |10-6|=4 mostra crescimento à direita — coerente com o “V” aberto para cima. Força e confiança: com esses pontos e regras fica fácil desenhar rapidinho na prova!

Resposta

Gráfico em “V” com vértice em (6,0), ramo esquerdo reta y=6-x (inclinação -1) para x<6 e ramo direito reta y=x-6 (inclinação +1) para x\ge6. Domínio \mathbb{R}. Imagem [0,\infty). Interseção com o eixo y: (0,6). Interseção com o eixo x: (6,0).

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