A vazão de um fluido em um tubo representa o volume deslocado por unidade de tempo. Ela pode ser dada pela expressão:
Q=pi r^2 v
onde r é o raio do tubo, v é a velocidade do fluido, Q representa a vazão do fluido. Considere um sistema de tubulação em que o raio do tubo é aumentado em 20% e a velocidade do fluido é reduzida em 30%.
b) Determine a nova vazão Q em termos da vazão original Q0.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem a fórmula da vazão de um fluido em um tubo:
Q = pi r^2 v
Onde:
  • $ r $ é o raio do tubo,
  • $ v $ é a velocidade do fluido,
  • $ Q $ é a vazão do fluido.
A pergunta diz que o raio do tubo aumenta em 20% e a velocidade do fluido diminui em 30%. Queremos descobrir como isso afeta a nova vazão $ Q $ em relação à vazão original $ Q_{0} $.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular como ficam o novo raio e a nova velocidade.
  • Aumento de 20% no raio: Isso significa que o novo raio $ r’ $ é 120% do original $ r_{0} $.
r'
  • Redução de 30% na velocidade: A nova velocidade $ v’ $ é 70% da original $ v_{0} $.
r0

Passo 3

Agora, vamos usar esses novos valores na fórmula da vazão para encontrar $ Q $:
Q
Substituindo $ r’ $ e $ v’ $:
Q = pi (r')^2 v'
Calculando o quadrado de 1,2:
r'
Então:
v'
Multiplicando os fatores:
Q = pi (1,2 , r0)^2 times 0,7 , v0
Portanto:
(1,2)^2 = 1,44
E lembrando que $ \pi r_{0}^{2} v_{0} = Q_{0} $, então:
Q = pi times 1,44 , r0^2 times 0,7 , v0

Resposta

A nova vazão $ Q $ é aproximadamente $ 1,008 $ vezes a vazão original $ Q_{0} $, ou seja:
Q

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