A vazão de um fluido em um tubo representa o volume deslocado por unidade de tempo. Ela pode ser dada pela expressão:
Q=pi r^2 v
onde r é o raio do tubo, v é a velocidade do fluido, Q representa a vazão do fluido. Considere um sistema de tubulação em que o raio do tubo é aumentado em 20% e a velocidade do fluido é reduzida em 30%.
c) Qual foi a variação percentual da vazão?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma questão sobre vazão de fluido em tubulação. A vazão, representada por $ Q $, é o volume de fluido que passa por um tubo em um certo tempo. A fórmula que vamos usar é:
Q
onde:
  • $ r $ é o raio do tubo,
  • $ v $ é a velocidade do fluido.
No problema, o raio do tubo aumenta 20% e a velocidade do fluido diminui 30%. Queremos descobrir qual é a variação percentual na vazão $ Q $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como esses aumentos e reduções afetam a fórmula da vazão. Se o raio $ r $ aumenta, $ r^{2} $ vai aumentar de forma proporcional ao quadrado do aumento de $ r $. Já a velocidade $ v $ está diminuindo.
Vamos calcular as novas medidas:
  • Novo raio ($ r’ $): Se o raio aumenta 20%, então:
r
  • Nova velocidade ($ v’ $): Se a velocidade diminui 30%, então:
r^2

Passo 3

Agora, vamos calcular a nova vazão $ Q’ $ com essas alterações:
Q'
Vamos simplificar isso passo a passo.

Passo 4

Primeiro, calculamos $ (1,20r)^{2} $:
(1,20r)^2
Então, substituindo de volta na fórmula:
(1,20r)^2 = 1,44r^2

Passo 5

Multiplicando os coeficientes:
1,44 times 0,70 = 1,008
Portanto:
Q' = pi times 1,008r^2v

Passo 6

Sabemos que a vazão original é $ Q = \pi r^{2} v $. Então, podemos relacionar $ Q’ $ com $ Q $:
Q = pi r^2 v
Isso significa que a nova vazão é 1,008 vezes a vazão original.

Passo 7

Para encontrar a variação percentual, subtraímos 1 e multiplicamos por 100%:
Variação % = (1,008 - 1) times 100% = 0,8% çã
Então, a vazão aumentou 0,8%.

Resposta

A vazão do fluido aumentou 0,8%.

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