A vazão de um fluido em um tubo representa o volume deslocado por unidade de tempo. Ela pode ser dada pela expressão:
onde
é o raio do tubo,
é a velocidade do fluido,
representa a vazão do fluido. Considere um sistema de tubulação em que o raio do tubo é aumentado em
e a velocidade do fluido é reduzida em
.
c) Qual foi a variação percentual da vazão?
c) Qual foi a variação percentual da vazão?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma questão sobre vazão de fluido em tubulação. A vazão, representada por $ Q $, é o volume de fluido que passa por um tubo em um certo tempo. A fórmula que vamos usar é:
onde:
- $ r $ é o raio do tubo,
- $ v $ é a velocidade do fluido.
No problema, o raio do tubo aumenta 20% e a velocidade do fluido diminui 30%. Queremos descobrir qual é a variação percentual na vazão $ Q $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como esses aumentos e reduções afetam a fórmula da vazão. Se o raio $ r $ aumenta, $ r^{2} $ vai aumentar de forma proporcional ao quadrado do aumento de $ r $. Já a velocidade $ v $ está diminuindo.
Vamos calcular as novas medidas:
- Novo raio ($ r’ $): Se o raio aumenta 20%, então:
- Nova velocidade ($ v’ $): Se a velocidade diminui 30%, então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a nova vazão $ Q’ $ com essas alterações:
Vamos simplificar isso passo a passo.
Passo 4
Primeiro, calculamos $ (1,20r)^{2} $:
Então, substituindo de volta na fórmula:
Passo 5
Multiplicando os coeficientes:
Portanto:
Passo 6
Sabemos que a vazão original é $ Q = \pi r^{2} v $. Então, podemos relacionar $ Q’ $ com $ Q $:
Isso significa que a nova vazão é 1,008 vezes a vazão original.
Passo 7
Para encontrar a variação percentual, subtraímos 1 e multiplicamos por 100%:
Então, a vazão aumentou 0,8%.
Resposta
A vazão do fluido aumentou 0,8%.