Uma curva redutora, com 600 mm de diâmetro a montante e 300 mm de diâmetro a jusante. está com água escoando a uma vazão de
sob uma pressão de 145 kPa . Desprezando qualquer perda na curva, calcule a força exercida pela água sobre a curva redutora.
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a força exercida pela água sobre a curva redutora. Dados fornecidos e informações relevantes:
- Diâmetro montante:
. - Diâmetro jusante:
. - Vazão:
. - Pressão (informada no enunciado):
. Vou considerar que essa pressão é a que atua nas faces das seções fornecidas (ou seja, ), pois o enunciado dá apenas um valor e não indica diferença de pressão. - Ângulo da saída em relação à horizontal:
(conforme figura). - Desprezam-se perdas e efeitos de corpo (gravidade) no balanço de quantidade de movimento.
O que preciso retornar: a força exercida pela água sobre a curva (vou dar componentese , magnitude e direção).
Passo 2
Calcular as áreas das seções e as velocidades usando conservação da massa (continuidade). Fórmulas básicas:
Aqui
é a área da seção (
),
o diâmetro (
),
a vazão (
) e
a velocidade média (
).
Calculemos as áreas:
Agora as velocidades médias:
Explicação curta: a vazão
é a mesma nas duas seções em escoamento incompressível e estacionário; portanto, quando a área diminui a velocidade aumenta.
Passo 3
Calcular a vazão mássica
. Fórmula:
onde
é a densidade da água. Adoto
(água líquida).
Comentário:
é a massa que atravessa uma seção por segundo; é a que multiplica as velocidades no balanço de quantidade de movimento.
Passo 4
Definir as componentes das velocidades (sistema de eixos com
positivo para a direita e
positivo para cima). Na seção montante o escoamento é horizontal para a direita, na jusante o escoamento forma
com a horizontal. Assim:
Para a seção 2 (ângulo
):
Explicação: usamos as projeções trigonométricas para decompor a velocidade em
e
.
Passo 5
Aplicar o balanço de quantidade de movimento linear (equação integral simplificada para regime permanente, sem termos de acumulação):
Aqui
é a soma das forças externas sobre o volume de controle do fluido (forças de pressão nas faces + força das paredes sobre o fluido). Nós queremos a força exercida pela água sobre a curva (isto é, a força que o fluido exerce sobre as paredes/peça). Chamemos
a força que as paredes exercem sobre o fluido; então a força que a água exerce sobre a peça é
.
As forças de pressão nas faces planas (1 e 2) valem (força sobre o fluido):
onde
é o vetor normal exterior ao volume de controle na face correspondente. Para faces planas com normals conhecidos, podemos escrever as componentes diretamente:
- Na face 1 (montante), o efeito é uma força para a direita de magnitude
. - Na face 2 (jusante), a força de pressão sobre o fluido tem componentes negativas (empurrando o fluido para dentro do volume) com magnitude
na direção do normal (que está a para a direita-cima). Portanto as componentes de são
Observação: o termo
aparece positivo em
porque a pressão na entrada empurra o fluido para dentro do CV na direção +x.
Passo 6
Calcular numericamente as forças de pressão:
Componentes:
Passo 7
Calcular o termo de taxa de variação de quantidade de movimento (
):
Agora aplicar a equação do passo 5, escrevendo-a por componentes:
Isolando
(força das paredes sobre o fluido):
Interpretação:
é a força que as paredes exercem sobre o fluido; aqui tem componente
negativa (para a esquerda) e componente
positiva (para cima).
A força que a água exerce sobre a curva (a peça) é o oposto:
logo as componentes são
Calcular magnitude e direção (ângulo em relação à horizontal, negativo para baixo):
Significado: a força resultante da água sobre a curva tem módulo
e aponta
abaixo da horizontal para a direita.