Uma curva redutora, com 600 mm de diâmetro a montante e 300 mm de diâmetro a jusante. está com água escoando a uma vazão de 0,444 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} sob uma pressão de 145 kPa . Desprezando qualquer perda na curva, calcule a força exercida pela água sobre a curva redutora.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a força exercida pela água sobre a curva redutora. Dados fornecidos e informações relevantes:
  • Diâmetro montante: D_1=600\\ \mathrm{mm}=0,600\\ \mathrm{m}.
  • Diâmetro jusante: D_2=300\\ \mathrm{mm}=0,300\\ \mathrm{m}.
  • Vazão: Q=0,444\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
  • Pressão (informada no enunciado): 145\\ \mathrm{kPa}=145\,000\\ \mathrm{Pa}. Vou considerar que essa pressão é a que atua nas faces das seções fornecidas (ou seja, P_1=P_2=145\\ \mathrm{kPa}), pois o enunciado dá apenas um valor e não indica diferença de pressão.
  • Ângulo da saída em relação à horizontal: 45^\circ (conforme figura).
  • Desprezam-se perdas e efeitos de corpo (gravidade) no balanço de quantidade de movimento.
    O que preciso retornar: a força exercida pela água sobre a curva (vou dar componentes F_x e F_y, magnitude e direção).

Passo 2

Calcular as áreas das seções e as velocidades usando conservação da massa (continuidade). Fórmulas básicas:
A=\frac{\pi D^2}{4}, \qquad V=\frac{Q}{A}.
Aqui A é a área da seção ( \mathrm{m}^2), D o diâmetro ( \mathrm{m}), Q a vazão ( \mathrm{m}^3/\mathrm{s}) e V a velocidade média ( \mathrm{m}/\mathrm{s}).
Calculemos as áreas:
A_1=\frac{\pi (0,600)^2}{4}=0,282743\\ \mathrm{m}^2, \qquad A_2=\frac{\pi (0,300)^2}{4}=0,0706858\\ \mathrm{m}^2.
Agora as velocidades médias:
V_1=\frac{Q}{A_1}=\frac{0,444}{0,282743}=1{,}571\\ \mathrm{m/s},
V_2=\frac{Q}{A_2}=\frac{0,444}{0,0706858}=6{,}284\\ \mathrm{m/s}.
Explicação curta: a vazão Q é a mesma nas duas seções em escoamento incompressível e estacionário; portanto, quando a área diminui a velocidade aumenta.

Passo 3

Calcular a vazão mássica \dot{m}. Fórmula:
\dot{m}=\rho\,Q,
onde \rho é a densidade da água. Adoto \rho=1000\\ \mathrm{kg/m}^3 (água líquida).
\dot{m}=1000\cdot0,444=444\\ \mathrm{kg/s}.
Comentário: \dot{m} é a massa que atravessa uma seção por segundo; é a que multiplica as velocidades no balanço de quantidade de movimento.

Passo 4

Definir as componentes das velocidades (sistema de eixos com x positivo para a direita e y positivo para cima). Na seção montante o escoamento é horizontal para a direita, na jusante o escoamento forma 45^\circ com a horizontal. Assim:
V_{1x}=1{,}571\\ \mathrm{m/s},\qquad V_{1y}=0.
Para a seção 2 (ângulo 45^\circ):
V_{2x}=V_2\cos45^\circ=6{,}284\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=4{,}446\\ \mathrm{m/s},
V_{2y}=V_2\sin45^\circ=4{,}446\\ \mathrm{m/s}.
Explicação: usamos as projeções trigonométricas para decompor a velocidade em x e y.

Passo 5

Aplicar o balanço de quantidade de movimento linear (equação integral simplificada para regime permanente, sem termos de acumulação):
\sum F_{\text{ext}} = \dot{m}\,( \vec{V}_2 - \vec{V}_1 ).
Aqui \sum F_{\text{ext}} é a soma das forças externas sobre o volume de controle do fluido (forças de pressão nas faces + força das paredes sobre o fluido). Nós queremos a força exercida pela água sobre a curva (isto é, a força que o fluido exerce sobre as paredes/peça). Chamemos \vec{F}_w a força que as paredes exercem sobre o fluido; então a força que a água exerce sobre a peça é -\vec{F}_w.
As forças de pressão nas faces planas (1 e 2) valem (força sobre o fluido):
\vec{F}_p = -P_1 A_1 \,\vec{n}_1 - P_2 A_2 \,\vec{n}_2,
onde \vec{n} é o vetor normal exterior ao volume de controle na face correspondente. Para faces planas com normals conhecidos, podemos escrever as componentes diretamente:
  • Na face 1 (montante), o efeito é uma força para a direita de magnitude +P_1A_1.
  • Na face 2 (jusante), a força de pressão sobre o fluido tem componentes negativas (empurrando o fluido para dentro do volume) com magnitude P_2A_2 na direção do normal (que está a 45^\circ para a direita-cima). Portanto as componentes de \vec{F}_p são
F_{p,x}=+P_1A_1 - P_2A_2\cos45^\circ, \qquad F_{p,y}=- P_2A_2\sin45^\circ.
Observação: o termo +P_1A_1 aparece positivo em x porque a pressão na entrada empurra o fluido para dentro do CV na direção +x.

Passo 6

Calcular numericamente as forças de pressão:
P_1A_1=145000\cdot0{,}282743=41098{,}8\\ \mathrm{N},
P_2A_2=145000\cdot0{,}0706858=10274{,}7\\ \mathrm{N}.
Componentes:
F_{p,x}=41098{,}8 - 10274{,}7\cdot\cos45^\circ =41098{,}8 - 10274{,}7\cdot0{,}70710678 =41098{,}8 - 7266{,}5 =33832{,}3\\ \mathrm{N},
F_{p,y}=-10274{,}7\cdot\sin45^\circ =-10274{,}7\cdot0{,}70710678 =-7266{,}5\\ \mathrm{N}.

Passo 7

Calcular o termo de taxa de variação de quantidade de movimento ( \dot{m}(\vec{V}_2-\vec{V}_1)):
\dot{m}(V_{2x}-V_{1x})=444\cdot(4{,}446-1{,}571)=444\cdot2{,}875=1276{,}5\\ \mathrm{N},
\dot{m}(V_{2y}-V_{1y})=444\cdot(4{,}446-0)=444\cdot4{,}446=1974{,}0\\ \mathrm{N}.
Agora aplicar a equação do passo 5, escrevendo-a por componentes:
F_{p,x}+F_{w,x}= \dot{m}(V_{2x}-V_{1x}),
F_{p,y}+F_{w,y}= \dot{m}(V_{2y}-V_{1y}).
Isolando \vec{F}_w (força das paredes sobre o fluido):
F_{w,x}=\dot{m}(V_{2x}-V_{1x}) - F_{p,x} =1276{,}5 - 33832{,}3 = -32555{,}8\\ \mathrm{N},
F_{w,y}=\dot{m}(V_{2y}-V_{1y}) - F_{p,y} =1974{,}0 - (-7266{,}5) =1974{,}0 +7266{,}5 =9240{,}5\\ \mathrm{N}.
Interpretação: \vec{F}_w é a força que as paredes exercem sobre o fluido; aqui tem componente x negativa (para a esquerda) e componente y positiva (para cima).
A força que a água exerce sobre a curva (a peça) é o oposto:
\vec{F}_{\text{água sobre curva}} = -\vec{F}_w,á
logo as componentes são
F_x=+32555{,}8\\ \mathrm{N}\quad(\text{direção para a direita}),çã
F_y=-9240{,}5\\ \mathrm{N}\quad(\text{direção para baixo}).çã
Calcular magnitude e direção (ângulo em relação à horizontal, negativo para baixo):
F=\sqrt{F_x^2+F_y^2}=\sqrt{(32555{,}8)^2+(-9240{,}5)^2}=33845{,}6\\ \mathrm{N},
\theta=\arctan\!\left(\frac{F_y}{F_x}\right)=\arctan\!\left(\frac{-9240{,}5}{32555{,}8}\right)=-15{,}8^\circ.
Significado: a força resultante da água sobre a curva tem módulo \approx3{,}38\times10^{4}\\ \mathrm{N} e aponta 15{,}8^\circ abaixo da horizontal para a direita.

Resposta

F_x=3{,}26\times10^{4}\\ \mathrm{N} (para a direita)
F_y=-9{,}24\times10^{3}\\ \mathrm{N} (para baixo)
|\vec{F}|=3{,}38\times10^{4}\\ \mathrm{N},\\ \theta=-15{,}8^\circ (abaixo da horizontal)

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