Resolva as equações abaixo em mathbb{R} :
2^{x}=8

Passo 1

O enunciado dá a equação exponencial e pede a solução em \mathbb{R}:
2^{x}=8.
Informações relevantes dadas:
  • A base é \,2, que é positiva e diferente de 1.
  • O objetivo é encontrar o(s) valor(es) real(is) de \,x que satisfaçam a igualdade.

Passo 2

Uma observação útil: expressar o número do lado direito como potência da mesma base quando possível. Sabemos que
2^{3}=2\cdot2\cdot2=8.
Portanto o lado direito pode ser reescrito como uma potência de base 2:
8=2^{3}.

Passo 3

Agora a equação fica
2^{x}=2^{3}.
Aqui usamos uma propriedade fundamental das funções exponenciais com base a>0 e a\neq1: elas são injetoras, isto é, se \,a^{u}=a^{v} então necessariamente \,u=v. Aplicando essa propriedade ao caso acima, concluímos que os expoentes são iguais.

Passo 4

Igualando os expoentes obtemos
x=3.
(se preferir um método alternativo, pode-se aplicar logaritmo em ambos os lados: tomar \ln \ln(2^{x})=\ln 8\Rightarrow x\ln2=\ln8\Rightarrow x=\dfrac{\ln8}{\ln2}=\dfrac{\ln(2^{3})}{\ln2}=\dfrac{3\ln2}{\ln2}=3.)

Passo 5

Checagem rápida: substituir x=3 na equação original dá \,2^{3}=8, que é verdadeiro. Então a solução está confirmada.

Resposta

x=3

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