Questão 13. Quais dos seguintes subconjuntos de \mathbb{Z}_{13}=\{\overline{0}, \overline{1}, \ldots, \overline{12}\} são grupos com relação a multiplicação?
(a) A=\{\overline{1}, \overline{3}, \overline{5}, \overline{7}, \overline{9}, \overline{11}\}.
(b) A=\mathbb{Z}_{13}.

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto \mathbb{Z}_{13}=\{\overline{0},\overline{1},\dots,\overline{12}\} com a operação de multiplicação módulo 13, e pede para verificar se os seguintes subconjuntos são grupos:
(a) A=\{\overline{1},\overline{3},\overline{5},\overline{7},\overline{9},\overline{11}\}.
(b) \mathbb{Z}_{13} todo.
Para ser grupo, um subconjunto não-vazio H deve satisfazer:
  1. ter o elemento identidade ( \overline{1});
  2. ser fechado em multiplicação;
  3. todo elemento de H ter inverso em H.
    Associatividade já vem do grupo ambientaç \mathbb{Z}_{13}^*.

Passo 2

Verificação em A:
  • A identidade \overline{1} está em A.
  • Teste de clausura: \overline{3}\cdot\overline{5}=\overline{15}=\overline{2}.Mas \overline{2}\notin A.
Logo falha a clausura, e portanto A não é grupo.

Passo 3

Verificação em \mathbb{Z}_{13} todo:
  • A identidade \overline{1} está em \mathbb{Z}_{13}.
  • A operação é fechada e associativa em \mathbb{Z}_{13}.
  • Porém, o elemento \overline{0} não possui inverso multiplicativo em \mathbb{Z}_{13}.
Logo \mathbb{Z}_{13} não é grupo sob multiplicação (falta inverso para \overline{0}).

Resposta

Nenhum dos dois subconjuntos é grupo sob multiplicação módulo 13.

Exercícios relacionados