a) Suponha que
e
. Então vale
.
b) Prove que
L.D então
.
b) Prove que
Passo 1
O enunciado pede para provar a igualdade
sob duas hipóteses diferentes:
(a) e
.
(b) e
são linearmente dependentes.
Para analisar essa identidade, vamos usar as fórmulas padrão do produto vetorial duplo:
(a)
(b)
Para analisar essa identidade, vamos usar as fórmulas padrão do produto vetorial duplo:
Passo 2
Aplicando essas fórmulas com
,
,
, obtemos
Passo 3
Sob a hipótese (a), temos
e
.
Então as expressões ficam
Então as expressões ficam
Para que sejam iguais precisaríamos de
, ou seja
. Como isso não está garantido em (a), a identidade falha em geral.
Passo 4
Sob a hipótese (b),
e
são LD implica
.
Então
Então
enquanto
que em geral não é o vetor nulo, salvo condições extras sobre
. Logo também em (b) a igualdade não vale em geral.
Resposta
Não é possível provar as afirmações nos itens (a) e (b) porque, com as hipóteses dadas, a identidade
falha em geral. Uma demonstração direta via produto vetorial duplo e um contraexemplo (por exemplo,
,
,
) mostram que os dois lados não coincidem sem hipóteses adicionais.