a) Suponha que \vec{u} \perp \vec{w} e \vec{v} \perp \vec{u}. Então vale (\vec{u} \times \vec{v}) \times \vec{w}=\vec{u} \times(\vec{v} \times \vec{w}).
b) Prove que (\vec{u}, \vec{v}) L.D então (\vec{u} \times \vec{v}) \times \vec{w}=\vec{u} \times(\vec{v} \times \vec{w}).

Passo 1

O enunciado pede para provar a igualdade
(\vec u\times\vec v)\times\vec w \;=\;\vec u\times(\vec v\times\vec w)
sob duas hipóteses diferentes:
(a) \vec u\perp\vec w e \vec v\perp\vec u.
(b) \vec u e \vec v são linearmente dependentes.
Para analisar essa identidade, vamos usar as fórmulas padrão do produto vetorial duplo:
(\vec A\times\vec B)\times\vec C =\vec B\,(\vec A\cdot\vec C)\;-\;\vec A\,(\vec B\cdot\vec C),
\vec A\times(\vec B\times\vec C) =\vec B\,(\vec A\cdot\vec C)\;-\;\vec C\,(\vec A\cdot\vec B).

Passo 2

Aplicando essas fórmulas com \vec A=\vec u, \vec B=\vec v, \vec C=\vec w, obtemos
(\vec u\times\vec v)\times\vec w =\vec v\,(\vec u\cdot\vec w)\;-\;\vec u\,(\vec v\cdot\vec w),
\vec u\times(\vec v\times\vec w) =\vec v\,(\vec u\cdot\vec w)\;-\;\vec w\,(\vec u\cdot\vec v).

Passo 3

Sob a hipótese (a), temos \vec u\perp\vec w\implies\vec u\cdot\vec w=0 e \vec v\perp\vec u\implies\vec u\cdot\vec v=0.
Então as expressões ficam
(\vec u\times\vec v)\times\vec w =\vec v\,(0)\;-\;\vec u\,(\vec v\cdot\vec w) =-\,\vec u\,(\vec v\cdot\vec w),
\vec u\times(\vec v\times\vec w) =\vec v\,(0)\;-\;\vec w\,(0) =\vec 0.
Para que sejam iguais precisaríamos de -\,\vec u\,(\vec v\cdot\vec w)=\vec 0, ou seja \vec v\cdot\vec w=0. Como isso não está garantido em (a), a identidade falha em geral.

Passo 4

Sob a hipótese (b), \vec u e \vec v são LD implica \vec u\times\vec v=\vec 0.
Então
(\vec u\times\vec v)\times\vec w=\vec 0\times\vec w=\vec 0,
enquanto
\vec u\times(\vec v\times\vec w) =\vec v\,(\vec u\cdot\vec w)\;-\;\vec w\,(\vec u\cdot\vec v),
que em geral não é o vetor nulo, salvo condições extras sobre \vec w. Logo também em (b) a igualdade não vale em geral.

Resposta

Não é possível provar as afirmações nos itens (a) e (b) porque, com as hipóteses dadas, a identidade
(\vec u\times\vec v)\times\vec w \;=\; \vec u\times(\vec v\times\vec w)
falha em geral. Uma demonstração direta via produto vetorial duplo e um contraexemplo (por exemplo, \vec u=(1,0,0), \vec v=(0,1,0), \vec w=(1,1,0)) mostram que os dois lados não coincidem sem hipóteses adicionais.

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