Calcule, usando mudança polar, as seguintes integrais:
, onde
é a região no semiplano superior
, limitada pelas circunferências
e
.
Passo 1
O enunciado pede que a gente calcule
onde
é a região no semiplano superior
limitada pelas circunferências
O conteúdo aqui é integral dupla sobre uma região anelar, e vamos usar transformação para coordenadas polares.
Passo 2
Em coordenadas polares temos
Na região
, o raio varia de
até
e o ângulo varia de
até
(porque
). Logo
Passo 3
Substituindo
,
e
em polares, a integral vira
Passo 4
A gente pode separar a integral em duas partes:
Passo 5
Calcular as partes em
:
Passo 6
Calcular as partes em
:
Passo 7
Juntando tudo: