Calcule, usando mudança polar, as seguintes integrais:
\iint_{D}\left(3 x+4 y^{2}\right) d A, onde D é a região no semiplano superior y \geq 0, limitada pelas circunferências x^{2}+y^{2}=1 e x^{2}+y^{2}=4.

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule
\iint_{D}\bigl(3x + 4y^{2}\bigr)\,dA
onde D é a região no semiplano superior y\ge0 limitada pelas circunferências
x^{2}+y^{2}=1 \quad\text{e}\quad x^{2}+y^{2}=4.
O conteúdo aqui é integral dupla sobre uma região anelar, e vamos usar transformação para coordenadas polares.

Passo 2

Em coordenadas polares temos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad dA = r\,dr\,d\theta.
Na região D, o raio varia de 1 até 2 e o ângulo varia de 0 até \pi (porque y\ge0). Logo
1 \le r \le 2, \quad 0 \le \theta \le \pi.

Passo 3

Substituindo x, y e dA em polares, a integral vira
\iint_{D}(3x+4y^{2})\,dA = \int_{0}^{\pi}\int_{1}^{2} \bigl(3r\cos\theta + 4r^{2}\sin^{2}\theta\bigr)\,r\,dr\,d\theta.

Passo 4

A gente pode separar a integral em duas partes:
\int_{0}^{\pi}\int_{1}^{2} 3r^{2}\cos\theta\,dr\,d\theta \;+\; \int_{0}^{\pi}\int_{1}^{2} 4r^{3}\sin^{2}\theta\,dr\,d\theta.

Passo 5

Calcular as partes em r:
\int_{1}^{2}3r^{2}\,dr =3\Bigl[\tfrac{r^{3}}{3}\Bigr]_{1}^{2} =3\cdot\tfrac{8-1}{3} =7,
\int_{1}^{2}4r^{3}\,dr =4\Bigl[\tfrac{r^{4}}{4}\Bigr]_{1}^{2} =4\cdot\tfrac{16-1}{4} =15.

Passo 6

Calcular as partes em \theta:
\int_{0}^{\pi}\cos\theta\,d\theta =\bigl[\sin\theta\bigr]_{0}^{\pi} =0,
\int_{0}^{\pi}\sin^{2}\theta\,d\theta =\frac{\pi}{2} \quad(\text{fórmula padrão: média de }\sin^{2}\text{ é }1/2).óãéé

Passo 7

Juntando tudo:
\iint_{D}(3x+4y^{2})\,dA =7\cdot 0 \;+\;15\cdot \frac{\pi}{2} =\frac{15\pi}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{15\pi}{2}

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