Se
e
, utilize a expressão
como definição do produto interno e demonstre as propriedades usuais:
Passo 1
O enunciado dá as duas componentes dos vetores
e
:
e define o produto interno por
O que nos pede provar é a igualdade
Aqui
são números reais (as componentes dos vetores) e
são os vetores da base canônica.
Passo 2
Escrevendo explicitamente a definição dada temos:
Vou explicar cada parte:
significa o produto usual entre números reais (a
-ésima componente de
vezes a
-ésima componente de
). A soma dos três produtos dá o produto escalar entre os vetores.
Passo 3
Lembrança importante (uma mini-aula de aritmética): na reta dos números reais a multiplicação é comutativa, isto é, para quaisquer reais
e
vale
Aplicando isso às componentes, para cada
temos
Isto é verdadeiro porque as componentes são números reais e a propriedade vale para todos os reais.
Passo 4
Usando a igualdade componente a componente, podemos substituir cada termo em
:
Além disso, a adição de números reais também é comutativa e associativa, então a ordem dos termos da soma não importa. Portanto a soma à direita é exatamente a definição de
.
Passo 5
Pelo que vimos, a expressão do Passo 4 coincide com a definição de
. Assim concluímos que
Como ilustração rápida: se
e
, então
e
o que confirma a propriedade num exemplo concreto.