Se \vec{a}=a_{1} \vec{i}+a_{2} \vec{j}+a_{3} \vec{k} e \vec{b}=b_{1} \vec{i}+b_{2} \vec{j}+b_{3} \vec{k}, utilize a expressão \vec{a} \cdot \vec{b}= a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+a_{3} b_{3} como definição do produto interno e demonstre as propriedades usuais:
\vec{a} \cdot \vec{b}=\vec{b} \cdot \vec{a}

Passo 1

O enunciado dá as duas componentes dos vetores \vec{a} e \vec{b}:
\vec{a}=a_{1}\vec{i}+a_{2}\vec{j}+a_{3}\vec{k},\qquad \vec{b}=b_{1}\vec{i}+b_{2}\vec{j}+b_{3}\vec{k},
e define o produto interno por
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}.
O que nos pede provar é a igualdade
\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}.
Aqui a_{1},a_{2},a_{3},b_{1},b_{2},b_{3} são números reais (as componentes dos vetores) e \vec{i},\vec{j},\vec{k} são os vetores da base canônica.

Passo 2

Escrevendo explicitamente a definição dada temos:
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}.
Vou explicar cada parte: a_{i}b_{i} significa o produto usual entre números reais (a i-ésima componente de \vec{a} vezes a i-ésima componente de \vec{b}). A soma dos três produtos dá o produto escalar entre os vetores.

Passo 3

Lembrança importante (uma mini-aula de aritmética): na reta dos números reais a multiplicação é comutativa, isto é, para quaisquer reais x e y vale
xy=yx.
Aplicando isso às componentes, para cada i\in\{1,2,3\} temos
a_{i}b_{i}=b_{i}a_{i}.
Isto é verdadeiro porque as componentes são números reais e a propriedade vale para todos os reais.

Passo 4

Usando a igualdade componente a componente, podemos substituir cada termo em \vec{a}\cdot\vec{b}:
a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3} = b_{1}a_{1}+b_{2}a_{2}+b_{3}a_{3}.
Além disso, a adição de números reais também é comutativa e associativa, então a ordem dos termos da soma não importa. Portanto a soma à direita é exatamente a definição de \vec{b}\cdot\vec{a}.

Passo 5

Pelo que vimos, a expressão do Passo 4 coincide com a definição de \vec{b}\cdot\vec{a}. Assim concluímos que
\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}.
Como ilustração rápida: se \vec{a}=(1,2,3) e \vec{b}=(4,5,6), então
\vec{a}\cdot\vec{b}=1\cdot4+2\cdot5+3\cdot6=4+10+18=32
e
\vec{b}\cdot\vec{a}=4\cdot1+5\cdot2+6\cdot3=4+10+18=32,
o que confirma a propriedade num exemplo concreto.

Resposta

\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}

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