Se \vec{u}=3 \vec{i}-2 \vec{j}-2 \vec{k}, \vec{v}=4 \vec{i}+\vec{j}-\vec{k} e \vec{w}=\vec{i}-\vec{k}, determinar:
(l) \vec{u} \cdot(\vec{v} \times \vec{w})

Passo 1

O enunciado dá três vetores e pede um produto escalar envolvendo um produto vetorial. Dados:
\vec{u}=3\vec{i}-2\vec{j}-2\vec{k},\qquad \vec{v}=4\vec{i}+\vec{j}-\vec{k},\qquad \vec{w}=\vec{i}-\vec{k}
A pergunta é calcular:
\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})

Passo 2

Primeiro precisamos calcular o produto vetorial \vec{v}\times\vec{w}. Vou usar a regra do determinante com os versores \vec{i},\vec{j},\vec{k}:
\vec{v}\times\vec{w}= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\\\ 4 & 1 & -1 \\\\ 1 & 0 & -1 \end{vmatrix}
Desenvolvendo esse determinante por co-fatores, cada componente fica:
\vec{v}\times\vec{w} = \bigl(1\cdot(-1)-(-1)\cdot 0\bigr)\vec{i} - \bigl(4\cdot(-1)-(-1)\cdot 1\bigr)\vec{j} + \bigl(4\cdot 0-1\cdot 1\bigr)\vec{k}.
Agora calculo cada expressão numérica:
1\cdot(-1)-(-1)\cdot 0 = -1,
4\cdot(-1)-(-1)\cdot 1 = -4 -(-1) = -3,
4\cdot 0-1\cdot 1 = -1.
Lembre que a componente em \vec{j} tem o sinal negativo do desenvolvimento, portanto:
\vec{v}\times\vec{w}=(-1)\vec{i}-(-3)\vec{j}+(-1)\vec{k}= -\vec{i}+3\vec{j}-\vec{k}.
Em forma de componentes:
\vec{v}\times\vec{w}=(-1,\,3,\,-1).

Passo 3

Agora calculamos o produto escalar \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}). O produto escalar entre os vetores \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3) é
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
Usando \vec{u}=(3,-2,-2) e \vec{v}\times\vec{w}=(-1,3,-1):
\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}) =3\cdot(-1)+(-2)\cdot 3+(-2)\cdot(-1).
Calculo passo a passo:
3\cdot(-1)=-3,
(-2)\cdot 3=-6,
(-2)\cdot(-1)=2.
Somando:
-3 + (-6) + 2 = -7.

Passo 4

Breve comentário didático: \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}) é o chamado produto misto ou triplo escalar; ele também pode ser calculado como o determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são as coordenadas de \vec{u},\vec{v},\vec{w}. O resultado calculado acima foi -7, que é um número escalar (o volume orientado do paralelepípedo formado por \vec{u},\vec{v},\vec{w}).

Resposta

-7

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