Os vegetais e a maioria dos animais vivos contêm uma concentração de carbono 14 semelhante àquela encontrada na atmosfera. Os vegetais os absorvem quando consomem dióxido de carbono durante a fotossíntese. Entre os animais, ele é distribuído através da cadeia alimentar. Quando um ser vivo morre, ele para de repor o carbono 14, de modo que as quantidades desse elemento começam a decair
a) Se a meia-vida do carbono 14 é de 5730 anos, encontre a função que fornece a concentração desse elemento ao longo do tempo.
b) Determine a idade de uma múmia que tem 70 \% da concentração de carbono 14 encontrada nos seres vivos atualmente.

Passo 1

O enunciado relata que após a morte de um ser vivo a concentração de carbono 14 decai exponencialmente com meia-vida de 5730 anos. Precisamos achar (a) a função de decaimento e (b) a idade de uma múmia que mantém 70 % da concentração inicial.

Passo 2

Para modelar o decaimento rádioativo usamos a equação
C(t)=C_0 e^{-k t}
onde T_{1/2} satisfaz
e^{-kT_{1/2}}=\tfrac12
Logo
k=\frac{\ln2}{T_{1/2}}=\frac{\ln2}{5730}\,.

Passo 3

Substituindo k na equação de decaimento, obtemos
C(t)=C_0 e^{-\frac{\ln2}{5730}\,t}\,.

Passo 4

Para achar a idade t quando \tfrac{C(t)}{C_0}=0,70, escrevemos
e^{-\frac{\ln2}{5730}\,t}=0,70
o que implica
-\frac{\ln2}{5730}\,t=\ln(0,70)
e finalmente
t=-\frac{5730}{\ln2}\,\ln(0,70)\,.

Passo 5

Calculando numericamente, \ln(0,70)\approx -0,3567 e \ln2\approx0,6931, então
t\approx\frac{5730\times0,3567}{0,6931}\approx2951
anos.

Resposta

a) \displaystyle C(t)=C_0\,e^{-\frac{\ln2}{5730}\,t}.
b) Aproximadamente 2950 anos.

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