(UNIFICADO-97) Segundo dados de uma pesquisa, a população de certa região do país vem decrescendo em relação ao tempo “t”, contado em anos, aproximadamente, segundo a relação \mathrm{P}(\mathrm{t})=\mathrm{P}(0) \cdot 2(0,25)^{t}; Sendo \mathrm{P}(0) uma constante que representa a população inicial dessa região e \mathrm{P}(\mathrm{t}) a população “t” anos após, determine quantos anos se passarão para que essa população fique reduzida à quarta parte da que era inicialmente.

Passo 1

O enunciado dá o modelo de decaimento da população
\mathrm{P}(t)=\mathrm{P}(0)\cdot 2\,(0,25)^{t},
onde \mathrm{P}(0) é a população inicial. Queremos achar t tal que
\mathrm{P}(t)=\tfrac{1}{4}\,\mathrm{P}(0).
O conteúdo envolvido é resolução de equação exponencial usando logaritmos.

Passo 2

Dividindo ambos os lados por \mathrm{P}(0) e igualando a \tfrac14, obtemos
2\,(0,25)^{t}=\tfrac{1}{4}.
Isolamos (0,25)^{t} dividindo por 2:
(0,25)^{t}=\tfrac{1}{8}.

Passo 3

Aplicamos logaritmo natural para resolver em t:
t\,\ln(0,25)=\ln\bigl(\tfrac{1}{8}\bigr).
Como \ln(0,25)=\ln(1/4)=-2\ln2 e \ln(1/8)=-3\ln2, segue
t=\frac{-3\ln2}{-2\ln2}=\frac{3}{2}=1,5.

Resposta

Levarão 1,5 anos para que a população fique reduzida a um quarto da inicial.

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