(UNIRIO-2005) Você deixou sua conta negativa em \mathrm{R} \ 100,00 em um banco que cobrava juros de10 % ao mês no cheque especial. Um tempo depois, você recebeu um extrato e observou que sua dívida havia duplicado. Sabe-se que a expressão que determina a dívida (em reais) em relação ao tempo \(t\left(e m\right. meses) é dada por:)y(t)=100(1,1)^{t}$. Após quantos meses a sua dívida duplicou?

Passo 1

O enunciado dá a evolução da dívida no cheque especial por juros compostos de 10 % ao mês, expressa por
y(t)=100\,(1,1)^{t}
onde t está em meses. Queremos saber após quantos meses t a dívida duplica, ou seja, quando y(t)=200. Vamos usar propriedades de logaritmos para resolver.

Passo 2

Igualamos a expressão ao dobro da dívida inicial e simplificamos:
100\,(1,1)^{t}=200
Dividindo ambos os lados por 100, obtemos
(1,1)^{t}=2.

Passo 3

Para “desgrudar” o expoente t, aplicamos logaritmo natural em ambos os lados. Pela propriedade \ln(a^t)=t\ln(a), temos
t\,\ln\bigl(1,1\bigr)=\ln(2).
Logo,
t=\frac{\ln(2)}{\ln\bigl(1,1\bigr)}.

Passo 4

Bastam valores aproximados de logaritmos para encontrar t: \ln(2)\approx0,6931 e \ln(1,1)\approx0,0953. Assim,
t\approx\frac{0,6931}{0,0953}\approx7,27.

Resposta

A dívida duplica após aproximadamente 7,27 meses.

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