Um veículo elétrico parte do repouso e acelera em linha reta a uma taxa de
até atingir a velocidade de
. Em seguida, o veículo desacelera a uma taxa constante de
até parar. (a) Quanto tempo transcorre entre a partida e a parada? (b) Qual é a distância percorrida pelo veículo desde a partida até a parada?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (pego do enunciado):
- O veículo parte do repouso, então a velocidade inicial é
. - Primeiro trecho: acelera com aceleração constante
até atingir . - Segundo trecho: desacelera com aceleração constante
(negativa porque reduz a velocidade) até parar, isto é, até .
O enunciado pede:
(a) o tempo total entre a partida e a parada;
(b) a distância total percorrida entre a partida e a parada.
(a) o tempo total entre a partida e a parada;
(b) a distância total percorrida entre a partida e a parada.
Passo 2
Fórmula básica para movimento retilíneo com aceleração constante que vamos usar para achar tempos:
Explicando: aqui
é a velocidade no instante final,
é a velocidade no instante inicial,
é a aceleração constante e
é o tempo decorrido durante esse trecho. Essa fórmula vem da definição de aceleração média constante:
, rearranjando dá
.
Aplicando ao primeiro trecho (aceleração):
,
,
. Então o tempo nesse trecho é
Passo 3
Agora o segundo trecho (desaceleração até parar). Usamos a mesma fórmula
mas com
(parou),
e
. Então
Observação didática: a aceleração é negativa porque reduz a velocidade; o quociente ficou positivo, como deve ser para um tempo.
Passo 4
Tempo total entre partida e parada é a soma dos tempos dos dois trechos:
Passo 5
Para achar distâncias em cada trecho usamos a fórmula do deslocamento para aceleração constante:
Explicando:
é o deslocamento nesse trecho,
velocidade inicial do trecho,
aceleração e
o tempo do trecho. Essa fórmula resulta da integração da velocidade linear
em relação ao tempo.
Aplicando ao primeiro trecho (partida do repouso):
,
,
. Então
Passo 6
Aplicando a mesma fórmula ao segundo trecho (desaceleração): aqui
,
,
. Então
Passo 7
Distância total percorrida é a soma das distâncias dos dois trechos:
Passo 8
Cheque rápido (alternativa): para o segundo trecho também se pode usar
com
, o que dá
. Substituindo
,
obtém-se
, confirma o resultado anterior. Bom sinal que as contas batem.