Um veículo elétrico parte do repouso e acelera em linha reta a uma taxa de 2,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} até atingir a velocidade de 20 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Em seguida, o veículo desacelera a uma taxa constante de 1,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} até parar. (a) Quanto tempo transcorre entre a partida e a parada? (b) Qual é a distância percorrida pelo veículo desde a partida até a parada?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (pego do enunciado):
  • O veículo parte do repouso, então a velocidade inicial é \,v_0=0\\ \mathrm{m/s}.
  • Primeiro trecho: acelera com aceleração constante \,a_1=2,0\\ \mathrm{m/s^2} até atingir \,v=20\\ \mathrm{m/s}.
  • Segundo trecho: desacelera com aceleração constante \,a_2=-1,0\\ \mathrm{m/s^2} (negativa porque reduz a velocidade) até parar, isto é, até \,v=0\\ \mathrm{m/s}.
O enunciado pede:
(a) o tempo total entre a partida e a parada;
(b) a distância total percorrida entre a partida e a parada.

Passo 2

Fórmula básica para movimento retilíneo com aceleração constante que vamos usar para achar tempos:
v = v_0 + a\,t
Explicando: aqui \,v é a velocidade no instante final, \,v_0 é a velocidade no instante inicial, \,a é a aceleração constante e \,t é o tempo decorrido durante esse trecho. Essa fórmula vem da definição de aceleração média constante: a=(v-v_0)/t, rearranjando dá v=v_0+at.
Aplicando ao primeiro trecho (aceleração): \,v_0=0, \,v=20\\ \mathrm{m/s}, \,a=2,0\\ \mathrm{m/s^2}. Então o tempo nesse trecho é
t_1=\frac{v-v_0}{a}=\frac{20-0}{2,0}=10\\ \mathrm{s}.

Passo 3

Agora o segundo trecho (desaceleração até parar). Usamos a mesma fórmula \,v=v_0+at mas com \,v=0 (parou), \,v_0=20\\ \mathrm{m/s} e \,a=-1,0\\ \mathrm{m/s^2}. Então
t_2=\frac{v-v_0}{a}=\frac{0-20}{-1,0}=20\\ \mathrm{s}.
Observação didática: a aceleração é negativa porque reduz a velocidade; o quociente ficou positivo, como deve ser para um tempo.

Passo 4

Tempo total entre partida e parada é a soma dos tempos dos dois trechos:
t_{\text{total}}=t_1+t_2=10+20=30\\ \mathrm{s}.

Passo 5

Para achar distâncias em cada trecho usamos a fórmula do deslocamento para aceleração constante:
\Delta s = v_0 t + \tfrac{1}{2} a t^2.
Explicando: \Delta s é o deslocamento nesse trecho, v_0 velocidade inicial do trecho, a aceleração e t o tempo do trecho. Essa fórmula resulta da integração da velocidade linear v(t)=v_0+at em relação ao tempo.
Aplicando ao primeiro trecho (partida do repouso): \,v_0=0, \,a=2,0\\ \mathrm{m/s^2}, \,t_1=10\\ \mathrm{s}. Então
s_1 = 0\cdot10 + \tfrac{1}{2}\cdot2,0\cdot10^2 = 1,0\cdot100 = 100\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Aplicando a mesma fórmula ao segundo trecho (desaceleração): aqui \,v_0=20\\ \mathrm{m/s}, \,a=-1,0\\ \mathrm{m/s^2}, \,t_2=20\\ \mathrm{s}. Então
s_2 = 20\cdot20 + \tfrac{1}{2}\cdot(-1,0)\cdot20^2 = 400 - 0,5\cdot400 = 400 - 200 = 200\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Distância total percorrida é a soma das distâncias dos dois trechos:
s_{\text{total}}=s_1+s_2=100+200=300\\ \mathrm{m}.

Passo 8

Cheque rápido (alternativa): para o segundo trecho também se pode usar \,v^2=v_0^2+2a\Delta s com v=0, o que dá \Delta s = -v_0^2/(2a). Substituindo v_0=20, a=-1,0 obtém-se \Delta s = -(20)^2/(2\cdot(-1,0))=400/2=200\\ \mathrm{m}, confirma o resultado anterior. Bom sinal que as contas batem.

Resposta

(a)\;30\\ \mathrm{s}
(b)\;300\\ \mathrm{m}

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