Vejamos algumas bijeções interessantes.
Apresente uma função de
em
bijetora.
Apresente uma função de
Passo 1
O enunciado pede uma bijeção entre a esfera
e o plano
O truque clássico é usar a projeção estereográfica: escolhemos um “ponto de projeção” na esfera e projetamos todos os outros pontos sobre o plano
. Em seguida, ajustamos o ponto de projeção para fechar a bijeção total.
Passo 2
Definimos o polo norte
e o ponto excluído no plano
Para
,
, consideramos a reta que liga
a
e sua interseção com o plano
. Parametrizando essa reta:
Queremos
com terceira coordenada zero, isto é
Logo a projeção estereográfica
para
é
Passo 3
É conhecido que esse mapeamento é bijetivo de
sobre
. Em outras palavras, cada ponto do plano
diferente de
corresponde a um único ponto da esfera diferente de
, e vice-versa.
Passo 4
Para estender a bijeção a todo
e todo
, basta atribuir
Dessa forma não perdemos injetividade (não havia nenhum outro ponto em
enviando-se a
) e tornamos
sobrejetora em todo
.
Resposta
Definimos a bijeção
Esse
em
.]