Vejamos algumas bijeções interessantes.
Apresente uma função de C=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2}=1\right\} em B=\{(x, y, z) \in \left.\mathbb{R}^{3} \mid z=0\right\} bijetora.

Passo 1

O enunciado pede uma bijeção entre a esfera
C = \bigl\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x^2 + y^2 + (z-1)^2 = 1\bigr\}
e o plano
B = \bigl\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid z = 0\bigr\}.
O truque clássico é usar a projeção estereográfica: escolhemos um “ponto de projeção” na esfera e projetamos todos os outros pontos sobre o plano z=0. Em seguida, ajustamos o ponto de projeção para fechar a bijeção total.

Passo 2

Definimos o polo norte
N = (0,0,2)\in C
e o ponto excluído no plano
Q = (0,0,0)\in B.
Para P=(x,y,z)\in C, P\neq N, consideramos a reta que liga N a P e sua interseção com o plano z=0. Parametrizando essa reta:
R(t) = N + t\bigl(P - N\bigr) = (0,0,2) + t\,(x,\,y,\,z-2).
Queremos R(t) com terceira coordenada zero, isto é
2 + t\,(z-2) = 0 \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{2}{2 - z}.
Logo a projeção estereográfica f para P\neq N é
f(x,y,z) = \bigl(R_x(t),\,R_y(t),\,0\bigr) = \Bigl(\frac{2x}{2 - z},\,\frac{2y}{2 - z},\,0\Bigr).

Passo 3

É conhecido que esse mapeamento é bijetivo de C\setminus\{N\} sobre B\setminus\{Q\}. Em outras palavras, cada ponto do plano z=0 diferente de Q corresponde a um único ponto da esfera diferente de N, e vice-versa.

Passo 4

Para estender a bijeção a todo C e todo B, basta atribuir
f(N) = Q.
Dessa forma não perdemos injetividade (não havia nenhum outro ponto em C enviando-se a Q) e tornamos f sobrejetora em todo B.

Resposta

Definimos a bijeção f\colon C \to B\) por \[f(x,y,z) = \begin{cases} \displaystyle\Bigl(\frac{2x}{2 - z},\,\frac{2y}{2 - z},\,0\Bigr), &\text{se }(x,y,z)\neq(0,0,2),\\[1em] (0,0,0), &\text{se }(x,y,z)=(0,0,2). \end{cases}
Esse f\] é bijetor de \(C em B.]

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