(a) Mostre que a razão entre a força elétrica e a força magnética sobre um íon positivo que se move com uma velocidade
é constante e independente da velocidade.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a razão entre a força elétrica e a força magnética sobre um íon positivo que se move com velocidade
é constante e independente da velocidade. Para resolver sem ambiguidade vou considerar o caso padrão usado nesse tipo de exercício, que é simples e didático:
- Duas partículas puntiformes idênticas, cada uma com carga positiva
, movem-se paralelamente com a mesma velocidade . - As partículas estão separadas por uma distância
medida perpendicularmente às direções de movimento (ou seja, o vetor que liga as partículas é perpendicular a ). - Queremos comparar as magnitudes da força elétrica (repulsiva) e da força magnética (atrativa, devido às correntes produzidas pelas partículas em movimento) que uma exerce sobre a outra.
Informações relevantes dadas/assumidas:
- Carga da partícula:
. - Velocidade comum:
, cujo módulo será denotado por . - Separação perpendicular:
. - Constantes do meio (vácuo): permissividade
e permeabilidade ; lembrar que .
A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Força elétrica entre duas cargas pontuais (lei de Coulomb).
A força elétrica de repulsão entre duas cargas separadas por distância
tem magnitude dada por Coulomb:
A força elétrica de repulsão entre duas cargas
Explicando a fórmula:
é a permissividade do vácuo;
aparece porque são duas cargas iguais; a dependência
é a famosa lei do inverso do quadrado.
Passo 3
Campo magnético produzido por uma carga em movimento (fórmula estilo Biot–Savart para uma carga puntiforme em movimento uniforme).
Uma carga pontual que se move com velocidade
produz, num ponto a distância
perpendicular à direção de
, um campo magnético cuja magnitude (no regime quasi-estacionário) é dada por:
Uma carga pontual
Justificativa e detalhes:
-
é a permeabilidade do vácuo. - Esta expressão é análoga à forma do Biot–Savart para um elemento de corrente; aqui uma carga
movendo-se com velocidade gera um efeito semelhante a um pequeno elemento de corrente . - Tomei o ângulo entre
e o vetor posição igual a (situação perpendicular), então o fator seno é 1 — essa é a geometria assumida no Passo 1.
Passo 4
Força magnética sobre uma carga móvel (Lei de Lorentz, parte magnética).
A força magnética sobre uma carga que se move com velocidade
num campo magnético
tem magnitude
A força magnética sobre uma carga
quando
é perpendicular a
(caso que estamos usando). Substituindo
do Passo 3:
Explicando: a força magnética escala com
, com
(da partícula que sente a força) e com a intensidade do campo magnético
; aqui tanto a fonte do campo quanto a partícula sentindo a força têm carga
e movem-se com a mesma velocidade, por isso aparece
.
Passo 5
Calcular a razão
e simplificar.
Agora dividimos as expressões do Passo 2 e do Passo 4:
Agora dividimos as expressões do Passo 2 e do Passo 4:
Usando a relação fundamental entre as constantes do vácuo,
onde
é a velocidade da luz no vácuo, obtemos
Passo 6
Interpretação didática e comentários intuitivos.
- A expressão final
mostra que a razão entre as forças não depende da carga nem da separação : elas cancelaram. Isso significa que, para duas partículas idênticas movendo-se em paralelo, a relação entre as intensidades das forças elétrica e magnética é a mesma em qualquer distância — é uma constante (para velocidade fixa). - A razão, entretanto, depende do quadrado do inverso da velocidade
. Para velocidades muito pequenas a razão é enorme, ou seja, a força elétrica domina. Quando se aproxima de as forças tornam-se comparáveis. - Em muitas formulações do exercício fala-se que a razão é “constante e independente da velocidade” — o que costuma significar que ela é independente de
e (constante para um dado ). A expressão acima deixa explícito que ela é uma função simples de ( ) se variar.