(a) Mostre que a razão entre a força elétrica e a força magnética sobre um íon positivo que se move com uma velocidade \overrightarrow{\mathbf{v}} é constante e independente da velocidade.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a razão entre a força elétrica e a força magnética sobre um íon positivo que se move com velocidade \overrightarrow{\mathbf{v}} é constante e independente da velocidade. Para resolver sem ambiguidade vou considerar o caso padrão usado nesse tipo de exercício, que é simples e didático:
  • Duas partículas puntiformes idênticas, cada uma com carga positiva q, movem-se paralelamente com a mesma velocidade \overrightarrow{\mathbf{v}}.
  • As partículas estão separadas por uma distância r medida perpendicularmente às direções de movimento (ou seja, o vetor que liga as partículas é perpendicular a \overrightarrow{\mathbf{v}}).
  • Queremos comparar as magnitudes da força elétrica (repulsiva) e da força magnética (atrativa, devido às correntes produzidas pelas partículas em movimento) que uma exerce sobre a outra.
Informações relevantes dadas/assumidas:
  • Carga da partícula: q.
  • Velocidade comum: \overrightarrow{\mathbf{v}}, cujo módulo será denotado por v.
  • Separação perpendicular: r.
  • Constantes do meio (vácuo): permissividade \varepsilon_0 e permeabilidade \mu_0; lembrar que c^2 = \dfrac{1}{\varepsilon_0\mu_0}.
A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Força elétrica entre duas cargas pontuais (lei de Coulomb).
A força elétrica de repulsão entre duas cargas q separadas por distância r tem magnitude dada por Coulomb:
F_{e}=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{q^{2}}{r^{2}}.
Explicando a fórmula: \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo; q^{2} aparece porque são duas cargas iguais; a dependência 1/r^{2} é a famosa lei do inverso do quadrado.

Passo 3

Campo magnético produzido por uma carga em movimento (fórmula estilo Biot–Savart para uma carga puntiforme em movimento uniforme).
Uma carga pontual q que se move com velocidade \overrightarrow{\mathbf{v}} produz, num ponto a distância r perpendicular à direção de \overrightarrow{\mathbf{v}}, um campo magnético cuja magnitude (no regime quasi-estacionário) é dada por:
B=\dfrac{\mu_{0}}{4\pi}\dfrac{q\,v}{r^{2}}.
Justificativa e detalhes:
  • \mu_{0} é a permeabilidade do vácuo.
  • Esta expressão é análoga à forma do Biot–Savart para um elemento de corrente; aqui uma carga q movendo-se com velocidade v gera um efeito semelhante a um pequeno elemento de corrente qv.
  • Tomei o ângulo entre \overrightarrow{\mathbf{v}} e o vetor posição igual a 90^\circ (situação perpendicular), então o fator seno é 1 — essa é a geometria assumida no Passo 1.

Passo 4

Força magnética sobre uma carga móvel (Lei de Lorentz, parte magnética).
A força magnética sobre uma carga q que se move com velocidade \overrightarrow{\mathbf{v}} num campo magnético \mathbf{B} tem magnitude
F_{m}=q\,v\,B,
quando \overrightarrow{\mathbf{v}} é perpendicular a \mathbf{B} (caso que estamos usando). Substituindo B do Passo 3:
F_{m}=q\,v\left(\dfrac{\mu_{0}}{4\pi}\dfrac{q\,v}{r^{2}}\right) =\dfrac{\mu_{0}}{4\pi}\dfrac{q^{2}v^{2}}{r^{2}}.
Explicando: a força magnética escala com q, com v (da partícula que sente a força) e com a intensidade do campo magnético B; aqui tanto a fonte do campo quanto a partícula sentindo a força têm carga q e movem-se com a mesma velocidade, por isso aparece q^{2}v^{2}.

Passo 5

Calcular a razão F_{e}/F_{m} e simplificar.
Agora dividimos as expressões do Passo 2 e do Passo 4:
\frac{F_{e}}{F_{m}} = \frac{\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{q^{2}}{r^{2}}} {\dfrac{\mu_{0}}{4\pi}\dfrac{q^{2}v^{2}}{r^{2}}} = \frac{1}{\varepsilon_{0}\mu_{0}v^{2}}.
Usando a relação fundamental entre as constantes do vácuo,
\varepsilon_{0}\mu_{0}=\frac{1}{c^{2}},
onde c é a velocidade da luz no vácuo, obtemos
\frac{F_{e}}{F_{m}}=\frac{c^{2}}{v^{2}}.

Passo 6

Interpretação didática e comentários intuitivos.
  • A expressão final \dfrac{F_{e}}{F_{m}}=\dfrac{c^{2}}{v^{2}} mostra que a razão entre as forças não depende da carga q nem da separação r: elas cancelaram. Isso significa que, para duas partículas idênticas movendo-se em paralelo, a relação entre as intensidades das forças elétrica e magnética é a mesma em qualquer distância — é uma constante (para velocidade fixa).
  • A razão, entretanto, depende do quadrado do inverso da velocidade \,v. Para velocidades muito pequenas v\ll c a razão é enorme, ou seja, a força elétrica domina. Quando v se aproxima de c as forças tornam-se comparáveis.
  • Em muitas formulações do exercício fala-se que a razão é “constante e independente da velocidade” — o que costuma significar que ela é independente de q e r (constante para um dado v). A expressão acima deixa explícito que ela é uma função simples de v ( c^{2}/v^{2}) se v variar.

Resposta

\dfrac{F_{e}}{F_{m}}=\dfrac{1}{\varepsilon_{0}\mu_{0}v^{2}}=\dfrac{c^{2}}{v^{2}}

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