A velocidade angular de um móvel em trajetória circular é diminuída de 30 pi rad / s para 20 pi rad / s em um intervalo de tempo igual à 2 s . Sabendo que o raio do círculo mede 0,5 m e o movimento é uniformemente variado; determine:
a equação que descreve a posição angular do movimento.

Passo 1

Beleza, bora lá!
Enunciado resumido: um objeto em movimento circular tem sua velocidade angular reduzida de ω₀ = 30 π rad/s para ω(2 s) = 20 π rad/s em Δt = 2 s. O raio r = 0,5 m tá lá, mas como queremos a posição angular θ(t) não precisamos dele diretamente.
Conteúdo da matéria: Cinemática angular com aceleração constante (movimento uniformemente variado). Vamos precisar das fórmulas
  1. α = Δω/Δt
  2. θ(t) = θ₀ + ω₀ t + ½ α t²

Passo 2

Calcular a aceleração angular α.
Δω = ω(2 s) − ω₀ = 20 π − 30 π = −10 π (rad/s)
Δt = 2 s
Então
α = ΔωΔt = -10,π2 = -5,π(rad/s^2)
Teoria rápida: α é a taxa de variação da velocidade angular, igual à derivada dω/dt.

Passo 3

Escrever a equação geral de θ(t) para aceleração constante.
Quando a aceleração é constante, integra-se ω(t) para achar θ(t):
θ(t) = θ0 + ω0,t + tfrac12,α,t^2
Aqui θ₀ é a posição angular inicial. Se a gente assumir θ₀ = 0 (começando do zero), fica mais simples.

Passo 4

Substituir valores em θ(t) com θ₀ = 0, ω₀ = 30 π e α = −5 π:
θ(t) = 0 + (30,π),t + tfrac12,(-5,π),t^2 = 30,π,t - 5,π2,t^2

Resposta

boxedθ(t) = 30,π,t ;-; 5,π2,t^2(rad)

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