A velocidade de uma partícula de massa igual a
que parte da origem no instante inicial
se move no plano xy é dada por
, com a velocidade em
e o tempo em segundos.
O módulo e o ângulo da força resultante com o semieixo
positivo a qual está submetida a partícula no instante
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos uma partícula de massa 2,0 kg que se move no plano xy com uma velocidade que depende do tempo. Queremos descobrir, no instante t = 2,0 segundos, qual é o módulo (ou seja, o tamanho) da força que está agindo sobre essa partícula e qual é o ângulo dessa força em relação ao semieixo x positivo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cinemática, como derivadas para encontrar a aceleração, e depois aplicar a segunda lei de Newton para encontrar a força.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função da velocidade que foi dada:
Isso significa que a componente x da velocidade é
e a componente y é
.
Passo 3
Para encontrar a aceleração, precisamos derivar a velocidade em relação ao tempo. A aceleração é a taxa de variação da velocidade, então:
Derivando termo a termo:
Passo 4
Agora, vamos calcular a aceleração no instante t = 2,0 segundos substituindo t por 2 na expressão da aceleração:
Então, a aceleração nesse instante é
m/s².
Passo 5
Com a aceleração em mãos, podemos usar a segunda lei de Newton, que nos diz que a força resultante é igual à massa multiplicada pela aceleração:
Substituindo os valores:
Então, a força resultante é
Newtons.
Passo 6
Agora, vamos encontrar o módulo dessa força. O módulo de um vetor força é dado pela raiz quadrada da soma dos quadrados das suas componentes:
Então, o módulo da força é aproximadamente 17,89 N.
Passo 7
Por fim, vamos calcular o ângulo que essa força faz com o semieixo x positivo. Para isso, usamos a função arco-tangente das componentes y e x da força:
Como a componente x é negativa e a y é positiva, o ângulo está no segundo quadrante. Portanto, adicionamos 180° ao valor negativo:
Então, o ângulo da força em relação ao semieixo x positivo é aproximadamente 153,43 graus.
Resposta
A força resultante no instante $ t = 2,0, s $ tem um módulo de aproximadamente $ 17,89, N $ e faz um ângulo de $ 153,43^\circ $ com o semieixo x positivo.