A velocidade de uma partícula de massa igual a 2,0 kg que parte da origem no instante inicial t=0 e se move no plano xy é dada por v=(8,0 t-4,0 t^2) imath+(2,0 t^2-4 t) jmath, com a velocidade em m / s e o tempo em segundos.
( 0 , 5 ) O módulo e o ângulo da força resultante com o semieixo times positivo a qual está submetida a partícula no instante t=2,0 s

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos uma partícula de massa 2,0 kg que se move no plano xy com uma velocidade que depende do tempo. Queremos descobrir, no instante t = 2,0 segundos, qual é o módulo (ou seja, o tamanho) da força que está agindo sobre essa partícula e qual é o ângulo dessa força em relação ao semieixo x positivo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cinemática, como derivadas para encontrar a aceleração, e depois aplicar a segunda lei de Newton para encontrar a força.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função da velocidade que foi dada:
v(t) = (8,0, t - 4,0, t^2) imath + (2,0, t^2 - 4, t) jmath
Isso significa que a componente x da velocidade é 8,0, t - 4,0, t^2 e a componente y é 2,0, t^2 - 4, t.

Passo 3

Para encontrar a aceleração, precisamos derivar a velocidade em relação ao tempo. A aceleração é a taxa de variação da velocidade, então:
a(t) = dvdt = (ddt(8,0, t - 4,0, t^2)) imath + (ddt(2,0, t^2 - 4, t)) jmath
Derivando termo a termo:
a(t) = (8,0 - 8,0, t) imath + (4,0, t - 4,0) jmath

Passo 4

Agora, vamos calcular a aceleração no instante t = 2,0 segundos substituindo t por 2 na expressão da aceleração:
a(2) = (8,0 - 8,0 times 2) imath + (4,0 times 2 - 4,0) jmath = (8,0 - 16,0) imath + (8,0 - 4,0) jmath = (-8,0) imath + (4,0) jmath
Então, a aceleração nesse instante é -8,0, imath + 4,0, jmath m/s².

Passo 5

Com a aceleração em mãos, podemos usar a segunda lei de Newton, que nos diz que a força resultante é igual à massa multiplicada pela aceleração:
F = m times a
Substituindo os valores:
F = 2,0, kg times (-8,0, imath + 4,0, jmath) = (-16,0, imath + 8,0, jmath), N
Então, a força resultante é -16,0, imath + 8,0, jmath Newtons.

Passo 6

Agora, vamos encontrar o módulo dessa força. O módulo de um vetor força é dado pela raiz quadrada da soma dos quadrados das suas componentes:
|F| = raizFx^2 + Fy^2 = raiz(-16,0)^2 + (8,0)^2 = raiz256 + 64 = raiz320 approx 17,89, N
Então, o módulo da força é aproximadamente 17,89 N.

Passo 7

Por fim, vamos calcular o ângulo que essa força faz com o semieixo x positivo. Para isso, usamos a função arco-tangente das componentes y e x da força:
theta = arctan(FyFx) = arctan(8,0-16,0) = arctan(-0,5) approx -26,57^circ
Como a componente x é negativa e a y é positiva, o ângulo está no segundo quadrante. Portanto, adicionamos 180° ao valor negativo:
theta approx 180^circ - 26,57^circ = 153,43^circ
Então, o ângulo da força em relação ao semieixo x positivo é aproximadamente 153,43 graus.

Resposta

A força resultante no instante $ t = 2,0, s $ tem um módulo de aproximadamente $ 17,89, N $ e faz um ângulo de $ 153,43^\circ $ com o semieixo x positivo.

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