A velocidade no centro de um tubo de 6 in é de 40 ft / s para ar escoando a 20^circ C e 1 atm . Nesta velocidade o escoamento é turbulento. Calcular:
A viscosidade de turbulência em y^+=5 e em y^+=30. Analise os resultados.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo e quais conceitos vamos precisar. Temos um tubo com diâmetro de 6 polegadas por onde está passando ar a uma velocidade de 40 pés por segundo, com temperatura de 20°C e pressão de 1 atm. O fluxo é turbulento. Precisamos calcular a viscosidade de turbulência nos pontos onde $ y^{+} = 5 $ e $ y^{+} = 30 $. Para isso, vamos usar conceitos de mecânica dos fluidos, como número de Reynolds, velocidade de cisalhamento na parede e a relação entre $ y^{+} $ e a viscosidade turbulenta.

Passo 2

Primeiro, vamos converter o diâmetro do tubo de polegadas para pés, já que a velocidade está em pés por segundo. Sabemos que 1 pé = 12 polegadas, então:
D = 6 in12 = 0,5 ft

Passo 3

Agora, vamos calcular o número de Reynolds para confirmar que o fluxo é realmente turbulento. O número de Reynolds ($ Re $) é dado por:
Re
Onde:
  • $ V = 40 ft/s $ (velocidade)
  • $ D = 0,5 ft $ (diâmetro)
  • $ \nu $ é a viscosidade cinemática do ar a 20°C.
A viscosidade cinemática do ar a 20°C é aproximadamente $ \nu = 1,5 \times 10^{-5} ft^2/s $.
Re = V Dnu
Como $ Re > 4000 $, confirmamos que o fluxo é turbulento.

Passo 4

Vamos determinar a velocidade de cisalhamento na parede ($ u_{\tau} $). Para isso, usamos a relação com $ y^{+} $:
utau
Onde:
  • $ y $ é a distância à parede, que para fluxo em tubo pode ser relacionada ao raio.
  • No entanto, para simplificação, assumimos que $ y^{+} $ já está fornecido, então podemos reorganizar para encontrar $ u_{\tau} $:
y^+
Mas precisamos de mais informações sobre $ y $. Em fluxos turbulentos, $ y^{+} $ é usado para relacionar a distância à parede em termos dimensionais semidesdimensionais.

Passo 5

Na turbulência, a viscosidade de turbulência ($ \nu_t $) pode ser relacionada ao perfil de velocidade próximo à parede. Uma fórmula comum para $ \nu_t $ é:
nut
Onde:
  • $ \kappa $ é a constante de von Kármán, aproximadamente 0,41.
  • $ u_{\tau} $ é a velocidade de cisalhamento na parede.
Mas precisamos relacionar $ y^{+} $ com $ u_{\tau} $:
nut
Substituindo na equação de $ \nu_t $:
nut = kappa y utau

Passo 6

Agora, vamos calcular $ \nu_t $ para $ y^{+} = 5 $ e $ y^{+} = 30 $:
nut
Substituindo $ \nu = 1,5 \times 10^{-5} ft^2/s $:
Para $ y^{+} = 5 $:
y^+ = 5
Para $ y^{+} = 30 $:
y^+ = 30

Resposta

A viscosidade de turbulência é $ 3,075 \times 10^{-5} ft^2/s $ para $ y^{+} = 5 $ e $ 1,845 \times 10^{-4} ft^2/s $ para $ y^{+} = 30 $. Observamos que à medida que $ y^{+} $ aumenta, a viscosidade de turbulência também aumenta, indicando uma maior intensidade turbulenta próximo à parede.

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