A velocidade no centro de um tubo de 6 in é de 40 ft / s para ar escoando a 20^circ C e 1 atm . Nesta velocidade o escoamento é turbulento. Calcular:
A tensão de cisalhamento na parede

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de dinâmica dos fluidos! A questão fala sobre a velocidade do ar no centro de um tubo e pede para calcular a tensão de cisalhamento na parede desse tubo. Para isso, vamos precisar entender conceitos como fluxo turbulento, velocidade, propriedades do ar e como calcular a tensão de cisalhamento.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que a gente tem:
  • Diâmetro do tubo: 6 polegadas
  • Velocidade no centro: 40 pés por segundo (ft/s)
  • Temperatura do ar: 20°C
  • Pressão: 1 atm
Precisamos calcular a tensão de cisalhamento na parede do tubo.

Passo 3

Vamos começar convertendo o diâmetro do tubo de polegadas para pés, porque a velocidade está em pés por segundo. Sabemos que 1 pé tem 12 polegadas, então:
D = 6 in12 = 0,5 ft

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a densidade do ar às condições dadas (20°C e 1 atm). Vamos usar a equação dos gases ideais:
PV = nRT
Mas podemos rearranjar para encontrar a densidade ($ \rho $):
rho
Onde:
  • $ P $ é a pressão em libras por pé cúbico (psf)
  • $ R $ é a constante específica do ar
  • $ T $ é a temperatura em graus Rankine
Primeiro, convertendo a temperatura de Celsius para Rankine:
rho = PR cdot T
E a pressão de 1 atm em psf:
P
A constante específica do ar ($ R $) é aproximadamente 53,35 ft·lb/(lb·mol·°R).
Agora, calculando a densidade:
R

Passo 5

Com a densidade conhecida, vamos calcular o número de Reynolds para verificar o regime de escoamento. O número de Reynolds ($ Re $) é dado por:
Re
Onde:
  • $ v $ é a velocidade (40 ft/s)
  • $ D $ é o diâmetro (0,5 ft)
  • $ \mu $ é a viscosidade dinâmica do ar
A viscosidade do ar a 20°C é aproximadamente $ \mu = 3,737 \times 10^{-7} lb/(ft·s) $.
Calculando:
Re = rho v Dmu
Como $ Re > 4000 $, confirma que o escoamento é turbulento.

Passo 6

Agora, vamos calcular a tensão de cisalhamento na parede ($ \tau_w $). Para fluxo turbulento, podemos usar a seguinte relação:
tauw
Onde $ f $ é o fator de atrito de Darcy. Para escoamento turbulento, um valor típico de $ f $ é aproximadamente 0,02.

Passo 7

Substituindo os valores na fórmula:
tauw = 0,02 times 0,075 times 40^22
Calculando passo a passo:
  1. $ 40^2 = 1600 $
  2. $ 0,075 \times 1600 = 120 $
  3. $ \frac{120}{2} = 60 $
  4. $ 0,02 \times 60 = 1,2 lb/ft^2 $

Resposta

A tensão de cisalhamento na parede do tubo é de aproximadamente 1,2 lb/ft².

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