A queda de pressão no escoamento de sódio fundido ( rho=910 kg / m^3 e mu=0,55 cP ) a 300^circ C que flui através de um tubo de 1 in de diâmetro interno é de 3,61.10^3 N / m^2 por metro de tubo. O escoamento é turbulento.
Calcular a velocidade para o escoamento laminar que tenha a mesma velocidade máxima que o escoamento turbulento da parte (b), para várias posições radiais, medidas a partir da parede.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma situação onde o sódio fundido está fluindo turbulentemente por um tubo com diâmetro interno de 1 polegada. A densidade ( rho) é 910 kg/m³ e a viscosidade ( mu) é 0,55 cP. A queda de pressão é de 3,61 times 10^3 N/m² por metro de tubo. O que precisamos fazer é calcular a velocidade para um fluxo laminar que tenha a mesma velocidade máxima que o fluxo turbulento. Para isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica dos fluidos, especificamente as equações que relacionam a queda de pressão, a viscosidade, a densidade e a velocidade do fluido.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional para facilitar os cálculos. Sabemos que 1 polegada é igual a 0,0254 metros. Então, o diâmetro interno do tubo é:
D = 1 , in = 0,0254 , m
A viscosidade ( mu) está em centipoise (cP), e sabemos que 1 , cP = 0,001 , Pacdots. Então:
mu = 0,55 , cP = 0,00055 , Pacdots

Passo 3

Agora, vamos lembrar que para fluxo turbulento, podemos usar a fórmula simplificada para a queda de pressão ( De) em função da velocidade média ( Vturb):
De
Onde:
  • f é o fator de atrito
  • L é o comprimento do tubo
  • D é o diâmetro interno
  • rho é a densidade do fluido
  • Vturb é a velocidade média turbulenta
Como a queda de pressão por metro de tubo é dada ( De), e L = 1 , m, podemos reescrever a equação para encontrar Vturb.

Passo 4

Vamos rearranjar a equação para resolver Vturb:
Vturb = raiz2 De
Mas precisamos do fator de atrito ( f). Para fluxo turbulento em tubos lisos, uma aproximação comum é usar a equação de Darcy-Weisbach ou a fórmula de Blasius, onde:
f = 0,316 Re^-0,25
Mas primeiro, precisamos calcular o número de Reynolds ( Re) para estimar f. No entanto, isso pode ser um ciclo, então para simplificar, vamos assumir um valor típico para f em fluxo turbulento, que geralmente está na faixa de 0,02 a 0,03.
Vamos assumir f = 0,02 para continuar.

Passo 5

Substituindo os valores na equação:
Vturb = raiz2 times 3,61 times 10^3 , N/m^2 times 0,0254 , m0,02 times 910 , kg/m^3
Calculando o numerador:
2 times 3,61 times 10^3 times 0,0254 = 2 times 3,61 times 10^3 times 0,0254 approx 183,0448
Calculando o denominador:
0,02 times 910 = 18,2
Agora:
Vturb = raiz183,044818,2 = raiz10,06 approx 3,17 , m/s

Passo 6

Agora que temos a velocidade máxima para o fluxo turbulento ( Vturb approx 3,17 , m/s), queremos encontrar a velocidade para um fluxo laminar que tenha a mesma velocidade máxima. Para fluxo laminar em tubo, o perfil de velocidade é parabólico e a velocidade máxima ( Vlam) está no centro do tubo.
A relação entre a velocidade máxima no fluxo laminar e a velocidade média ( Vm) é:
Vlam = 2 Vm
Queremos que Vlam = Vturb, então:
2 Vm = 3,17 , m/s Rightarrow Vm = 3,172 = 1,585 , m/s

Passo 7

Para fluxo laminar, a velocidade em qualquer posição radial r a partir da parede é dada por:
V(r) = Vm (1 - (rR)^2)
Onde:
  • R é o raio do tubo ( R = D2 = 0,0127 , m)
  • r é a distância radial da parede

Passo 8

Escolhemos algumas posições radiais r (por exemplo, r = 0 no centro, r = R/2, e r = R na parede) e calculamos V(r):
Para r = 0 (centro):
V(0) = 1,585 (1 - 0) = 1,585 , m/s
Para r = 0,00635 , m (metade do raio):
V(0,00635) = 1,585 (1 - (0,006350,0127)^2) = 1,585 (1 - 0,25) = 1,585 times 0,75 approx 1,189 , m/s
Para r = 0,0127 , m (na parede):
V(0,0127) = 1,585 (1 - 1) = 0 , m/s

Resposta

A velocidade para o escoamento laminar que possui a mesma velocidade máxima do escoamento turbulento é aproximadamente 1,585 , m/s no centro do tubo. Para outras posições radiais:
  • A r = 0,00635 , m (metade do raio), a velocidade é cerca de 1,189 , m/s.
  • Na parede ( r = 0,0127 , m), a velocidade é 0 , m/s.

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