A queda de pressão no escoamento de sódio fundido ( e ) a que flui através de um tubo de 1 in de diâmetro interno é de por metro de tubo. O escoamento é turbulento.
Calcular a velocidade para o escoamento laminar que tenha a mesma velocidade máxima que o escoamento turbulento da parte (b), para várias posições radiais, medidas a partir da parede.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma situação onde o sódio fundido está fluindo turbulentemente por um tubo com diâmetro interno de 1 polegada. A densidade () é 910 kg/m³ e a viscosidade () é 0,55 cP. A queda de pressão é de N/m² por metro de tubo. O que precisamos fazer é calcular a velocidade para um fluxo laminar que tenha a mesma velocidade máxima que o fluxo turbulento. Para isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica dos fluidos, especificamente as equações que relacionam a queda de pressão, a viscosidade, a densidade e a velocidade do fluido.
Passo 2
Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional para facilitar os cálculos. Sabemos que 1 polegada é igual a 0,0254 metros. Então, o diâmetro interno do tubo é:
A viscosidade () está em centipoise (cP), e sabemos que . Então:
Passo 3
Agora, vamos lembrar que para fluxo turbulento, podemos usar a fórmula simplificada para a queda de pressão () em função da velocidade média ():
Onde:
é o fator de atrito
é o comprimento do tubo
é o diâmetro interno
é a densidade do fluido
é a velocidade média turbulenta
Como a queda de pressão por metro de tubo é dada (), e , podemos reescrever a equação para encontrar .
Passo 4
Vamos rearranjar a equação para resolver :
Mas precisamos do fator de atrito (). Para fluxo turbulento em tubos lisos, uma aproximação comum é usar a equação de Darcy-Weisbach ou a fórmula de Blasius, onde:
Mas primeiro, precisamos calcular o número de Reynolds () para estimar . No entanto, isso pode ser um ciclo, então para simplificar, vamos assumir um valor típico para em fluxo turbulento, que geralmente está na faixa de 0,02 a 0,03.
Vamos assumir para continuar.
Passo 5
Substituindo os valores na equação:
Calculando o numerador:
2 times 3,61 times 10^3 times 0,0254 = 2 times 3,61 times 10^3 times 0,0254 approx 183,0448
Calculando o denominador:
0,02 times 910 = 18,2
Agora:
Vturb = raiz183,044818,2 = raiz10,06 approx 3,17 , m/s
Passo 6
Agora que temos a velocidade máxima para o fluxo turbulento (Vturb approx 3,17 , m/s), queremos encontrar a velocidade para um fluxo laminar que tenha a mesma velocidade máxima. Para fluxo laminar em tubo, o perfil de velocidade é parabólico e a velocidade máxima (Vlam) está no centro do tubo.
A relação entre a velocidade máxima no fluxo laminar e a velocidade média (Vm) é:
Vlam = 2 Vm
Queremos que Vlam = Vturb, então:
2 Vm = 3,17 , m/s Rightarrow Vm = 3,172 = 1,585 , m/s
Passo 7
Para fluxo laminar, a velocidade em qualquer posição radial r a partir da parede é dada por:
V(r) = Vm (1 - (rR)^2)
Onde:
R é o raio do tubo (R = D2 = 0,0127 , m)
r é a distância radial da parede
Passo 8
Escolhemos algumas posições radiais r (por exemplo, r = 0 no centro, r = R/2, e r = R na parede) e calculamos V(r):
Para r = 0 (centro):
V(0) = 1,585 (1 - 0) = 1,585 , m/s
Para r = 0,00635 , m (metade do raio):
V(0,00635) = 1,585 (1 - (0,006350,0127)^2) = 1,585 (1 - 0,25) = 1,585 times 0,75 approx 1,189 , m/s
Para r = 0,0127 , m (na parede):
V(0,0127) = 1,585 (1 - 1) = 0 , m/s
Resposta
A velocidade para o escoamento laminar que possui a mesma velocidade máxima do escoamento turbulento é aproximadamente 1,585 , m/s no centro do tubo. Para outras posições radiais:
A r = 0,00635 , m (metade do raio), a velocidade é cerca de 1,189 , m/s.
Na parede (r = 0,0127 , m), a velocidade é 0 , m/s.