A queda de pressão no escoamento de sódio fundido (
e
) a
que flui através de um tubo de 1 in de diâmetro interno é de
por metro de tubo. O escoamento é turbulento.
Calcular a velocidade para várias posições radiais medidas a partir da parede
Calcular a velocidade para várias posições radiais medidas a partir da parede
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão nos pede e o que vamos precisar para resolver. Temos um problema de escoamento turbulento de sódio fundido num tubo. Sabemos a densidade (
), a viscosidade dinâmica (
), o diâmetro interno do tubo (1 polegada) e a queda de pressão por metro de tubo (
). Nosso objetivo é calcular a velocidade do fluido em diferentes posições radiais a partir da parede do tubo. Para isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica dos fluidos, especialmente relacionados a escoamentos turbulentos em tubos.
Passo 2
Primeiro, vamos converter todas as unidades para o sistema internacional (SI) para facilitar os cálculos. Sabemos que 1 polegada é igual a 0,0254 metros. Então, o diâmetro interno do tubo é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a área da seção transversal do tubo. A área (
) de um tubo circular é dada por:
Substituindo o valor do diâmetro:
Passo 4
Em escoamentos turbulentos, uma das equações que relaciona a queda de pressão (
) com a velocidade média (
) é a equação de Darcy-Weisbach:
Onde:
-
é o fator de atrito (que depende do regime de escoamento) -
é o comprimento do tubo -
é o diâmetro do tubo -
é a densidade do fluido -
é a velocidade média
Como a queda de pressão é dada por metro de tubo (
), podemos rearranjar a equação para resolver
:
Passo 5
Antes de calcular
, precisamos determinar o fator de atrito
. Em escoamentos turbulentos, podemos usar a equação de Colebrook-White para tubos lisos:
Para simplificar, assumiremos que o tubo é liso e usaremos uma aproximação comum para escoamentos turbulentos, onde
.
Passo 6
Vamos calcular o número de Reynolds (
) para confirmar o regime turbulento:
No entanto, como ainda não temos
, vamos assumir que o escoamento é realmente turbulento, conforme informado no enunciado, e seguir com
.
Passo 7
Para prosseguir, precisaremos de uma estimativa inicial para
. Vamos rearranjar a equação de Darcy-Weisbach para isolar
sem o fator
:
Como estamos assumindo
para escoamentos turbulentos comuns, substituímos os valores:
Passo 8
Agora que temos uma estimativa para
, podemos calcular o fator de atrito mais precisamente:
Calculando o número de Reynolds:
Então,
Passo 9
Com o novo valor de
, recalculamos
:
Passo 10
Agora, com o
mais preciso, podemos recalcular o fator
:
Passo 11
Recalculando
com o fator atualizado:
Passo 12
Repetimos o processo até a convergência. Com
, o número de Reynolds é:
Passo 13
Finalmente, recalculamos
com
:
Passo 14
Com
, o número de Reynolds é:
Passo 15
Recalculando
:
Como o valor está convergindo para aproximadamente
, vamos usar esse como velocidade média.
Passo 16
Agora, para encontrar a velocidade em várias posições radiais, usamos o perfil de velocidade para escoamento turbulento. Uma forma comum é a lei de potência:
Onde:
-
é a velocidade na posição radial -
é o raio do tubo -
é o expoente que depende do tipo de escoamento (para turbulento, geralmente )
Passo 17
Calculando o raio do tubo:
Passo 18
Escolhemos algumas posições radiais
a partir da parede, por exemplo:
,
,
,
, e
(centro do tubo).
Passo 19
Aplicando a fórmula para cada
:
Para
(centro):
Para
:
Para
:
Para
:
Para
(parede):
Resposta
As velocidades nas distintas posições radiais a partir da parede do tubo são aproximadamente:
- No centro (
): - Em
: - Em
: - Em
: - Na parede (
):