A queda de pressão no escoamento de sódio fundido ( rho=910 kg / m^3 e mu=0,55 cP ) a 300^circ C que flui através de um tubo de 1 in de diâmetro interno é de 3,61.10^3 N / m^2 por metro de tubo. O escoamento é turbulento.
Calcular a velocidade para várias posições radiais medidas a partir da parede

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão nos pede e o que vamos precisar para resolver. Temos um problema de escoamento turbulento de sódio fundido num tubo. Sabemos a densidade ( rho = 910 , kg/m^3), a viscosidade dinâmica ( mu = 0,55 , cP), o diâmetro interno do tubo (1 polegada) e a queda de pressão por metro de tubo ( 3,61 times 10^3 , N/m^2). Nosso objetivo é calcular a velocidade do fluido em diferentes posições radiais a partir da parede do tubo. Para isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica dos fluidos, especialmente relacionados a escoamentos turbulentos em tubos.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as unidades para o sistema internacional (SI) para facilitar os cálculos. Sabemos que 1 polegada é igual a 0,0254 metros. Então, o diâmetro interno do tubo é:
D = 1 , in = 0,0254 , m

Passo 3

Agora, vamos calcular a área da seção transversal do tubo. A área ( A) de um tubo circular é dada por:
A = pi D^24
Substituindo o valor do diâmetro:
A = pi (0,0254)^24 approx 0,0005067 , m^2

Passo 4

Em escoamentos turbulentos, uma das equações que relaciona a queda de pressão ( De) com a velocidade média ( Vm) é a equação de Darcy-Weisbach:
De
Onde:
  • f é o fator de atrito (que depende do regime de escoamento)
  • L é o comprimento do tubo
  • D é o diâmetro do tubo
  • rho é a densidade do fluido
  • Vm é a velocidade média
Como a queda de pressão é dada por metro de tubo ( L = 1 , m), podemos rearranjar a equação para resolver Vm:
Vm = raiz2 De

Passo 5

Antes de calcular Vm, precisamos determinar o fator de atrito f. Em escoamentos turbulentos, podemos usar a equação de Colebrook-White para tubos lisos:
1raizf = -2 log ( epsilon/D3.7 + 2.51Re raizf )
Para simplificar, assumiremos que o tubo é liso e usaremos uma aproximação comum para escoamentos turbulentos, onde f approx 0,316 cdot Re^-0,25.

Passo 6

Vamos calcular o número de Reynolds ( Re) para confirmar o regime turbulento:
Re = rho Vm Dmu
No entanto, como ainda não temos Vm, vamos assumir que o escoamento é realmente turbulento, conforme informado no enunciado, e seguir com f approx 0,316 cdot Re^-0,25.

Passo 7

Para prosseguir, precisaremos de uma estimativa inicial para Vm. Vamos rearranjar a equação de Darcy-Weisbach para isolar Vm sem o fator f:
Vm approx raiz2 De
Como estamos assumindo f approx 0,02 para escoamentos turbulentos comuns, substituímos os valores:
Vm approx raiz2 times 3,61 times 10^3 times 0,02540,02 times 910 approx raiz182,6818,2 approx raiz10,05 approx 3,17 , m/s

Passo 8

Agora que temos uma estimativa para Vm, podemos calcular o fator de atrito mais precisamente:
f approx 0,316 cdot Re^-0,25 = 0,316 cdot ( 910 times 3,17 times 0,02540,55 times 10^-3 )^-0,25
Calculando o número de Reynolds:
Re = 910 times 3,17 times 0,02540,55 times 10^-3 approx 132,7 times 10^3
Então,
f approx 0,316 times (132700)^-0,25 approx 0,316 times 0,033 approx 0,0104

Passo 9

Com o novo valor de f, recalculamos Vm:
Vm approx raiz2 times 3,61 times 10^3 times 0,02540,0104 times 910 approx raiz182,689,464 approx raiz19,31 approx 4,39 , m/s

Passo 10

Agora, com o Vm mais preciso, podemos recalcular o fator f:
Re = 910 times 4,39 times 0,02540,55 times 10^-3 approx 185,4 times 10^3
f approx 0,316 times (185400)^-0,25 approx 0,316 times 0,028 approx 0,0089

Passo 11

Recalculando Vm com o fator atualizado:
Vm approx raiz2 times 3,61 times 10^3 times 0,02540,0089 times 910 approx raiz182,688,099 approx raiz22,57 approx 4,75 , m/s

Passo 12

Repetimos o processo até a convergência. Com Vm approx 4,75 , m/s, o número de Reynolds é:
Re = 910 times 4,75 times 0,02540,55 times 10^-3 approx 216,7 times 10^3
f approx 0,316 times (216700)^-0,25 approx 0,316 times 0,025 approx 0,0079

Passo 13

Finalmente, recalculamos Vm com f approx 0,0079:
Vm approx raiz2 times 3,61 times 10^3 times 0,02540,0079 times 910 approx raiz182,687,189 approx raiz25,42 approx 5,04 , m/s

Passo 14

Com Vm approx 5,04 , m/s, o número de Reynolds é:
Re = 910 times 5,04 times 0,02540,55 times 10^-3 approx 239,0 times 10^3
f approx 0,316 times (239000)^-0,25 approx 0,316 times 0,024 approx 0,0076

Passo 15

Recalculando Vm:
Vm approx raiz2 times 3,61 times 10^3 times 0,02540,0076 times 910 approx raiz182,686,916 approx raiz26,43 approx 5,14 , m/s
Como o valor está convergindo para aproximadamente 5,14 , m/s, vamos usar esse como velocidade média.

Passo 16

Agora, para encontrar a velocidade em várias posições radiais, usamos o perfil de velocidade para escoamento turbulento. Uma forma comum é a lei de potência:
u(r) = Vm (1 - (rR)^1/n)
Onde:
  • u(r) é a velocidade na posição radial r
  • R é o raio do tubo
  • n é o expoente que depende do tipo de escoamento (para turbulento, geralmente n approx 7)

Passo 17

Calculando o raio do tubo:
R = D2 = 0,02542 = 0,0127 , m

Passo 18

Escolhemos algumas posições radiais r a partir da parede, por exemplo: r = 0, r = 0,0032 , m, r = 0,0064 , m, r = 0,0095 , m, e r = 0,0127 , m (centro do tubo).

Passo 19

Aplicando a fórmula para cada r:
Para r = 0 , m (centro):
u(0) = 5,14 (1 - (00,0127)^1/7) = 5,14 , m/s
Para r = 0,0032 , m:
u(0,0032) = 5,14 (1 - (0,00320,0127)^1/7) approx 5,14 times (1 - 0,379) approx 5,14 times 0,621 approx 3,19 , m/s
Para r = 0,0064 , m:
u(0,0064) = 5,14 (1 - (0,00640,0127)^1/7) approx 5,14 times (1 - 0,651) approx 5,14 times 0,349 approx 1,80 , m/s
Para r = 0,0095 , m:
u(0,0095) = 5,14 (1 - (0,00950,0127)^1/7) approx 5,14 times (1 - 0,795) approx 5,14 times 0,205 approx 1,05 , m/s
Para r = 0,0127 , m (parede):
u(0,0127) = 5,14 (1 - (0,01270,0127)^1/7) = 5,14 times (1 - 1) = 0 , m/s

Resposta

As velocidades nas distintas posições radiais a partir da parede do tubo são aproximadamente:
  • No centro ( r = 0 , m): 5,14 , m/s
  • Em r = 0,0032 , m: 3,19 , m/s
  • Em r = 0,0064 , m: 1,80 , m/s
  • Em r = 0,0095 , m: 1,05 , m/s
  • Na parede ( r = 0,0127 , m): 0 , m/s

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