O isótopo { }_{15}^{34} P é utilizado para localizar tumores no cérebro e em estudos de formação de ossos e dentes. Uma bancada de laboratório foi contaminada com 100 mg desse isótopo, que possui meiavida de 14,3 dias. O tempo mínimo, expresso em dias, para que a radioatividade caia a 0,1 \% do seu valor original é igual a quanto?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado fornece e o que ele pede.
  • Dado: a bancada foi contaminada com 100\\ \text{mg} do isótopo (essa massa inicial não é necessária quando se pede uma fração percentual, mas está informada).
  • Dado: meia-vida T_{1/2} = 14{,}3\\ \text{dias}.
  • Dado: queremos que a radioatividade caia para 0{,}1\% do valor original, ou seja para uma fração 0{,}001 do valor inicial.
  • Pedido: tempo mínimo, em dias, para que a atividade chegue a 0{,}1\% do valor inicial.

Passo 2

Apresentar a lei de decaimento e explicar as variáveis.
A atividade (ou quantidade) de uma substância radioativa decai exponencialmente segundo a fórmula
N(t)=N_0\left(\tfrac{1}{2}\right)^{\dfrac{t}{T_{1/2}}},
onde:
  • N(t) é a atividade (ou quantidade) no tempo t,
  • N_0 é a atividade inicial no tempo t=0,
  • T_{1/2} é a meia-vida (tempo em que a atividade reduz à metade),
  • t é o tempo decorrido.
Alternativamente, pode-se escrever usando a constante de decaimento \lambda como
N(t)=N_0 e^{-\lambda t},
com a relação entre \lambda e T_{1/2} dada por
\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}.
As duas formulações são equivalentes; aqui usaremos a forma com potências de \tfrac{1}{2} porque envolve diretamente a meia-vida.

Passo 3

Montar a equação para a fração desejada e isolar t.
Queremos N(t)=0{,}001\,N_0. Substituindo na fórmula:
0{,}001\,N_0 = N_0\left(\tfrac{1}{2}\right)^{\dfrac{t}{T_{1/2}}}.
Cancelando N_0 dos dois lados (por isso a massa inicial não importa):
0{,}001 = \left(\tfrac{1}{2}\right)^{\dfrac{t}{T_{1/2}}}.
Tomando logaritmo natural em ambos os lados para isolar t:
\ln(0{,}001) = \frac{t}{T_{1/2}}\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right).
Portanto
t = T_{1/2}\,\frac{\ln(0{,}001)}{\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right)}.

Passo 4

Calcular numericamente usando T_{1/2}=14{,}3\\ \text{dias}.
Calcular os logaritmos (valores numéricos aproximados):
\ln(0{,}001)=\ln(10^{-3})=-3\ln(10)\approx -6{,}907755279,
\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=-\ln 2\approx -0{,}693147181.
Então a razão é
\frac{\ln(0{,}001)}{\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right)} \approx \frac{-6{,}907755279}{-0{,}693147181}\approx 9{,}965784285.
Multiplicando por T_{1/2}:
t \approx 14{,}3 \times 9{,}965784285 \approx 142{,}5107153\\ \text{dias}.

Passo 5

Interpretação final e arredondamento razoável.
O tempo mínimo para que a atividade caia a 0{,}1\% do valor original é aproximadamente 142{,}5 dias. Em prova, arredondando para o dia inteiro mais próximo, dá 143 dias.

Resposta

142{,}5\\ \text{dias}

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