O isótopo
é utilizado para localizar tumores no cérebro e em estudos de formação de ossos e dentes. Uma bancada de laboratório foi contaminada com 100 mg desse isótopo, que possui meiavida de 14,3 dias. O tempo mínimo, expresso em dias, para que a radioatividade caia a
do seu valor original é igual a quanto?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado fornece e o que ele pede.
- Dado: a bancada foi contaminada com
do isótopo (essa massa inicial não é necessária quando se pede uma fração percentual, mas está informada). - Dado: meia-vida
. - Dado: queremos que a radioatividade caia para
do valor original, ou seja para uma fração do valor inicial. - Pedido: tempo mínimo, em dias, para que a atividade chegue a
do valor inicial.
Passo 2
Apresentar a lei de decaimento e explicar as variáveis.
A atividade (ou quantidade) de uma substância radioativa decai exponencialmente segundo a fórmula
onde:
-
é a atividade (ou quantidade) no tempo , -
é a atividade inicial no tempo , -
é a meia-vida (tempo em que a atividade reduz à metade), -
é o tempo decorrido.
Alternativamente, pode-se escrever usando a constante de decaimento
como
com a relação entre
e
dada por
As duas formulações são equivalentes; aqui usaremos a forma com potências de
porque envolve diretamente a meia-vida.
Passo 3
Montar a equação para a fração desejada e isolar
.
Queremos
. Substituindo na fórmula:
Cancelando
dos dois lados (por isso a massa inicial não importa):
Tomando logaritmo natural em ambos os lados para isolar
:
Portanto
Passo 4
Calcular numericamente usando
.
Calcular os logaritmos (valores numéricos aproximados):
Então a razão é
Multiplicando por
:
Passo 5
Interpretação final e arredondamento razoável.
O tempo mínimo para que a atividade caia a
do valor original é aproximadamente
dias. Em prova, arredondando para o dia inteiro mais próximo, dá
dias.