Os seguintes resultados foram obtidos para a decomposição de glicose em solução aquosa.
\mathrm{t} / \mathrm{min} 0 45 120 240 480
[glicose] / mmol L { }^{-1} 56,0 55,3 54,2 52,5 49,0
Com base nos dados, responda:
a) Demonstre, por regressão linear, a ordem da reação (ordem zero, primeira ordem ou segunda ordem). Obs.: Considere quatro casas decimais para o coeficiente de correlação.
b) Calcule o valor da constante de velocidade da reação;
c) Preveja o tempo de meia-vida para esta reação nestas condições.

Passo 1

Temos medidas de concentração de glicose (cada em mmol L^{-1}) em função do tempo t (min), e queremos determinar a ordem da reação por linearização:
ordem zero: [\mathrm{A}] vs. t
primeira ordem: \ln[\mathrm{A}] vs. t
segunda ordem: 1/[\mathrm{A}] vs. t
Em cada caso faremos regressão linear \bigl(y=mt+b\bigr), calculando o coeficiente de correlação r (quatro casas decimais) e o valor de m, para comparar qual transformação é mais próxima de uma reta perfeita.

Passo 2

Regressão zero-ordem
Definimos y=[\mathrm{A}]. Usando \sum t_i=885, \sum y_i=267{,}0, \sum t_i^2=304425, \sum t_i y_i=45112{,}5 e n=5, obtemos
m_0=\frac{n\sum t_i y_i-\sum t_i\sum y_i}{n\sum t_i^2-(\sum t_i)^2} =\frac{5\cdot45112{,}5-885\cdot267{,}0}{5\cdot304425-885^2} =-0{,}01453\;\mathrm{mmol\,L^{-1}min^{-1}},
b_0=\frac{\sum y_i-m_0\sum t_i}{n}=55{,}9718,
e o coeficiente de correlação
r_0 =\frac{5\sum t_i y_i-\sum t_i\sum y_i} {\sqrt{\bigl(5\sum t_i^2-(\sum t_i)^2\bigr)\,\bigl(5\sum y_i^2-(\sum y_i)^2\bigr)}} \approx-0{,}9997.

Passo 3

Regressão primeira ordem
Definimos y=\ln[\mathrm{A}]. Calculamos \sum\ln[\mathrm{A}]=19{,}8850, \sum t_i\ln[\mathrm{A}_i]=3478{,}52, \sum(\ln[\mathrm{A}])^2=79{,}0943. Assim
m_1=\frac{5\cdot3478{,}52-885\cdot19{,}8850}{5\cdot304425-885^2} \approx-2{,}786\times10^{-4}\;\mathrm{min^{-1}},
r_1\approx-0{,}9963.

Passo 4

Regressão segunda ordem
Definimos y=1/[\mathrm{A}]. Com \sum1/[\mathrm{A}]=0{,}093843, \sum t_i(1/[\mathrm{A}_i])=17{,}3951, \sum(1/[\mathrm{A}])^2=0{,}0017658, obtemos
m_2=\frac{5\cdot17{,}3951-885\cdot0{,}093843}{5\cdot304425-885^2} \approx5{,}308\times10^{-6}\;\mathrm{L\,mmol^{-1}min^{-1}},
r_2\approx0{,}9894.

Passo 5

Comparando \lvert r_0\rvert=0{,}9997, \lvert r_1\rvert=0{,}9963 e \lvert r_2\rvert=0{,}9894, a melhor reta é [\mathrm{A}] vs. t. Logo ordem zero.

Passo 6

Para reação de ordem zero, a constante de velocidade k é -m_0:
k=0{,}01453\;\mathrm{mmol\;L^{-1}\,min^{-1}}.

Passo 7

A meia-vida em ordem zero satisfaz
t_{1/2}=\frac{[\mathrm{A}]_0}{2k} =\frac{56{,}0}{2\cdot0{,}01453}\approx1{,}93\times10^3\;\mathrm{min}.

Resposta

a) A reação é de ordem zero (melhor r=-0{,}9997).
b) k=0{,}01453\;\mathrm{mmol\;L^{-1}\,min^{-1}}.
c) t_{1/2}=1{,}93\times10^3\;\mathrm{min}.

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