Determine todos os pontos no qual a função é contínua.
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a função em \(
f(x,y)=
\
Queremos determinar em quais pontos do plano ela é contínua. Vamos usar o fato de que quocientes de polinômios são contínuos onde o denominador não zera e analisar o ponto (0,0) separadamente.
Passo 2
Para $(x,y)\neq(0,0)$ o denominador $x2+y2$\) é não-nulo. Assim $x3-y3$ e $x2+y2$ são polinômios e f é quociente de polinômios num ponto onde o denominador é diferente de zero. Logo f é contínua em todo ponto $(x,y)\neq(0,0)$.
Passo 3
Para $ (0,0)$ precisamos verificar . Usamos uma estimativa via desigualdade triangular e a definição de norma:
Em bloco:
Passo 4
Como (x,y)to(0,0) quando $(x,y)\to(0,0)$, concluímos que . Este valor coincide com f(0,0)=0, logo f é contínua em (0,0).
Passo 5
Conclusão: a função é contínua em todos os pontos do plano.