Determine todos os pontos no qual a função é contínua.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a função em \(
f(x,y)= x^3-y^3x^2+y^2,&(x,y)neq(0,0)0,&(x,y)=(0,0)
\
Queremos determinar em quais pontos do plano ela é contínua. Vamos usar o fato de que quocientes de polinômios são contínuos onde o denominador não zera e analisar o ponto (0,0) separadamente.

Passo 2

Para $(x,y)\neq(0,0)$ o denominador $x2+y2$\) é não-nulo. Assim $x3-y3$ e $x2+y2$ são polinômios e f é quociente de polinômios num ponto onde o denominador é diferente de zero. Logo f é contínua em todo ponto $(x,y)\neq(0,0)$.

Passo 3

Para $ (0,0)$ precisamos verificar (0,0). Usamos uma estimativa via desigualdade triangular e a definição de norma:
Em bloco:
|f(x,y)|=|x^3-y^3x^2+y^2| <= |x|^3+|y|^3x^2+y^2 <= (raizx^2+y^2)^3+(raizx^2+y^2)^3x^2+y^2 =2raizx^2+y^2

Passo 4

Como (x,y)to(0,0) quando $(x,y)\to(0,0)$, concluímos que . Este valor coincide com f(0,0)=0, logo f é contínua em (0,0).

Passo 5

Conclusão: a função é contínua em todos os pontos do plano.

Resposta

A função f é contínua em todo $\mathbb{R}^2$.

Exercícios relacionados