Uma partícula de massa m , movendo se com velocidade escalar
, fica sujeita a ação de uma força vertical de intensidade constante F , a partir de um certo instante. Nessas condições, a trajetória por ela descrita passa a ser um arco de parábola. A velocidade num certo instante t , forma um angulo
com a a horizontal.Sabe se que a tangente trigonométrica de
, tg
, é inversamente proporcional à massa m , e ainda é função de
. Encontre a equação que relaciona as grandezas
Passo 1
Dados do enunciado:
- Massa da partícula:
. - Velocidade escalar inicial:
. - A partir de um certo instante a partícula fica sujeita a uma força vertical constante de intensidade
. - Em um instante
(contado a partir do início da força) a velocidade da partícula forma um ângulo com a horizontal. - Sabe-se que
depende de e é inversamente proporcional a .
O que o enunciado pede: - Encontrar a equação que relaciona
, do tipo
ou seja, determinar
.
Passo 2
Interpretação física e decomposição das velocidades (explicando os conceitos):
- Velocidade é um vetor; tem componentes horizontal e vertical. Se chamarmos
a componente horizontal e a componente vertical, a direção do vetor velocidade forma um ângulo com a horizontal cujo seno, cosseno e tangente vêm das componentes. - Definição prática da tangente do ângulo da velocidade:
porque em um triângulo retângulo a tangente é (cateto oposto) / (cateto adjacente), e aqui esses catetos são as componentes vertical e horizontal da velocidade.
Passo 3
Força vertical e aceleração vertical (Lei de Newton; explicação didática):
- A segunda lei de Newton diz que a força resultante sobre uma partícula é igual à massa vezes a aceleração:
- Aqui a força relevante é vertical e constante (módulo
), portanto ela produz uma aceleração vertical constante cuja intensidade é
Explicação: dividir força (N) por massa (kg) dá aceleração (m/s
); quanto maior a massa, menor a aceleração para a mesma força — por isso a dependência inversa em
.
Passo 4
Velocidade vertical como função do tempo (integração da aceleração; passo a passo):
- A aceleração vertical constante implica que a velocidade vertical varia linearmente com o tempo:
- Aqui
é a componente vertical da velocidade no instante em que a força começa a agir. O enunciado indica que antes da força a partícula movia-se com velocidade escalar (interpretação usual: movimento inicialmente horizontal), então a componente vertical inicial é
- Substituindo
e temos
Passo 5
Componente horizontal da velocidade (por que é constante) e sua expressão:
- Não há força horizontal mencionada, logo a aceleração horizontal é zero e a componente horizontal da velocidade permanece constante.
- A componente horizontal inicial é o próprio
(interpretação: velocidade inicial totalmente horizontal), então
(Se fosse outra a orientação inicial, a relação mudaria; aqui seguimos a interpretação implícita do enunciado.)
Passo 6
Cálculo de
a partir das componentes:
- Usando
e as expressões encontradas:
- Comparando com a forma proposta
, concluímos que
- Checagem de unidades:
tem unidades (adimensional), consistente com adimensional.