Uma partícula de massa m , movendo se com velocidade escalar V_{0}, fica sujeita a ação de uma força vertical de intensidade constante F , a partir de um certo instante. Nessas condições, a trajetória por ela descrita passa a ser um arco de parábola. A velocidade num certo instante t , forma um angulo \Theta com a a horizontal.Sabe se que a tangente trigonométrica de \Theta, tg \Theta, é inversamente proporcional à massa m , e ainda é função de F, t e V_{0}. Encontre a equação que relaciona as grandezas \operatorname{tg} \theta, m, F, t, V_{o}
\operatorname{tg} \theta=k \frac{F t}{m v_{0}}

Passo 1

Dados do enunciado:
  • Massa da partícula: m.
  • Velocidade escalar inicial: v_0.
  • A partir de um certo instante a partícula fica sujeita a uma força vertical constante de intensidade F.
  • Em um instante t (contado a partir do início da força) a velocidade da partícula forma um ângulo \theta com a horizontal.
  • Sabe-se que \operatorname{tg}\theta depende de F,\;t,\;v_0 e é inversamente proporcional a m.
    O que o enunciado pede:
  • Encontrar a equação que relaciona \operatorname{tg}\theta,\;m,\;F,\;t,\;v_0, do tipo
\operatorname{tg}\theta = k\,\frac{F t}{m v_0},
ou seja, determinar k.

Passo 2

Interpretação física e decomposição das velocidades (explicando os conceitos):
  • Velocidade é um vetor; tem componentes horizontal e vertical. Se chamarmos v_x a componente horizontal e v_y a componente vertical, a direção do vetor velocidade forma um ângulo \theta com a horizontal cujo seno, cosseno e tangente vêm das componentes.
  • Definição prática da tangente do ângulo da velocidade:
\operatorname{tg}\theta = \frac{v_y}{v_x},
porque em um triângulo retângulo a tangente é (cateto oposto) / (cateto adjacente), e aqui esses catetos são as componentes vertical e horizontal da velocidade.

Passo 3

Força vertical e aceleração vertical (Lei de Newton; explicação didática):
  • A segunda lei de Newton diz que a força resultante sobre uma partícula é igual à massa vezes a aceleração:
F = m a.
  • Aqui a força relevante é vertical e constante (módulo F), portanto ela produz uma aceleração vertical constante cuja intensidade é
a_y = \frac{F}{m}.
Explicação: dividir força (N) por massa (kg) dá aceleração (m/s ^2); quanto maior a massa, menor a aceleração para a mesma força — por isso a dependência inversa em m.

Passo 4

Velocidade vertical como função do tempo (integração da aceleração; passo a passo):
  • A aceleração vertical constante implica que a velocidade vertical varia linearmente com o tempo:
v_y(t) = v_{y0} + a_y\,t.
  • Aqui v_{y0} é a componente vertical da velocidade no instante em que a força começa a agir. O enunciado indica que antes da força a partícula movia-se com velocidade escalar v_0 (interpretação usual: movimento inicialmente horizontal), então a componente vertical inicial é
v_{y0}=0.
  • Substituindo a_y e v_{y0} temos
v_y(t) = 0 + \frac{F}{m}\,t = \frac{F t}{m}.

Passo 5

Componente horizontal da velocidade (por que é constante) e sua expressão:
  • Não há força horizontal mencionada, logo a aceleração horizontal é zero e a componente horizontal da velocidade permanece constante.
  • A componente horizontal inicial é o próprio v_0 (interpretação: velocidade inicial totalmente horizontal), então
v_x(t) = v_0.
(Se fosse outra a orientação inicial, a relação mudaria; aqui seguimos a interpretação implícita do enunciado.)

Passo 6

Cálculo de \operatorname{tg}\theta a partir das componentes:
  • Usando \operatorname{tg}\theta = \dfrac{v_y}{v_x} e as expressões encontradas:
\operatorname{tg}\theta = \frac{v_y(t)}{v_x(t)} = \frac{\dfrac{F t}{m}}{v_0} = \frac{F t}{m\,v_0}.
  • Comparando com a forma proposta \operatorname{tg}\theta = k\,\dfrac{F t}{m v_0}, concluímos que
k = 1.
  • Checagem de unidades: \dfrac{F t}{m v_0} tem unidades \dfrac{(\text{N})\cdot(\text{s})}{\text{kg}\cdot(\text{m/s})}=\dfrac{\text{kg}\cdot\text{m/s}^2\cdot\text{s}}{\text{kg}\cdot\text{m/s}}=1 (adimensional), consistente com \operatorname{tg}\theta adimensional.

Resposta

\operatorname{tg}\theta=\frac{F t}{m v_0}

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