A velocidade de um objeto que se move ao longo de uma linha reta é descrita pela função:
Qual é a posição do objeto no instante t=2s?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada aqui é descobrir a posição de um objeto no instante $ t = 2 $ segundos, dado que a velocidade dele ao longo do tempo é descrita pela função:
Para isso, vamos precisar usar o conceito de integração, que é uma ferramenta matemática para encontrar a posição a partir da velocidade. Não se preocupe se isso parecer complicado agora, vou te explicar passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a função de velocidade $ v(t) $ representa. Ela nos diz quão rápido o objeto está se movendo em cada instante de tempo $ t $. Para encontrar a posição $ s(t) $ a partir da velocidade, precisamos integrar a função de velocidade em relação ao tempo.
A integral da velocidade nos dá a posição:
Passo 3
Vamos calcular a integral da função de velocidade:
Então,
Passo 4
Integrando termo por termo:
- A integral de $ 6t^{2} $ é $ 2t^{3} $ porque $ \int t^{n} , dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} $.
- A integral de $ -12t $ é $ -6t^{2} $.
- A integral de $ 8 $ é $ 8t $.
Então, juntando tudo:
Aqui, $ C $ é a constante de integração, que representa a posição inicial do objeto.
Passo 5
Como o enunciado não fornece a posição inicial, vamos assumir que $ s(0) = 0 $ (o objeto parte da posição zero). Substituindo $ t = 0 $ na equação:
Portanto, a posição fica:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a posição no instante $ t = 2 $ segundos:
Resposta
A posição do objeto no instante $ t = 2 $ segundos é 8 SI.