A velocidade de um objeto que se move ao longo de uma linha reta é descrita pela função:
v(t)=6 t^2-12 t+8(S I)
Determine a equação da aceleração instantânea a(t) em função do tempo t.

Passo 1

Então, temos um objeto que está se movendo em linha reta e a velocidade dele está descrita pela função $ v(t) = 6t^{2} - 12t + 8 $ (em unidades do Sistema Internacional). O que precisamos fazer aqui é descobrir a equação da aceleração instantânea $ a(t) $ em função do tempo $ t $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a derivada, que nos ajuda a encontrar a taxa de variação de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é aceleração. A aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo. Isso significa que para encontrar a aceleração instantânea $ a(t) $, precisamos calcular a derivada da função velocidade $ v(t) $ em relação ao tempo $ t $.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada da função velocidade $ v(t) = 6t^{2} - 12t + 8 $. A derivada de uma função nos dá a inclinação da tangente à curva nesse ponto, ou seja, como a velocidade está mudando naquele instante.
Usamos as regras de derivação para polinômios:
  • A derivada de $ t^{n} $ é $ n \cdot t^{n-1} $.
  • A derivada de uma constante é zero.
Aplicando isso:
v(t) = 6t^2 - 12t + 8
Calculando cada termo:
t^n
n cdot t^n-1
dv(t)dt = ddt(6t^2) - ddt(12t) + ddt(8)

Passo 4

Agora, juntando tudo, temos:
a(t) = dv(t)dt = 12t - 12 + 0
Simplificando:
a(t) = 12t - 12

Resposta

A equação da aceleração instantânea é $ a(t) = 12t - 12 $.

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