Um carro esportivo parte do repouso em uma pista retilínea e acelera de forma uniforme até atingir a velocidade de 36 m / s em um intervalo de 12s. Após atingir essa velocidade, o motorista mantém o carro em movimento retilíneo uniforme por mais 10s. Em seguida, ele aplica os freios, reduzindo uniformemente a velocidade do carro até parar em 8s.
Faça um gráfico de x(t), v(t) e a(t) desse movimento.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o movimento de um carro esportivo que passa por três fases: aceleração, movimento retilíneo uniforme e desaceleração. Vamos precisar usar conceitos de cinemática, especificamente equações de movimento com aceleração constante. Para resolver isso, vamos calcular a posição x(t), a velocidade v(t) e a aceleração a(t) em cada uma dessas fases.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a fase de aceleração uniforme. O carro parte do repouso, ou seja, a velocidade inicial v0 = 0. Ele atinge uma velocidade final v = 36, m/s em t = 12, s. Queremos encontrar a aceleração a.
Usamos a fórmula da velocidade no movimento uniformemente acelerado:
v = v0 + a t
Substituindo os valores:
36 = 0 + a times 12
a = 3612 = 3, m/s^2

Passo 3

Agora, vamos calcular a posição x(t) durante a aceleração usando a fórmula:
x(t) = x0 + v0 t + 12 a t^2
Como o carro parte do repouso e da posição zero:
x(t) = 0 + 0 + 12 times 3 times t^2
x(t) = 32 t^2

Passo 4

Na segunda fase, o carro mantém a velocidade constante de 36, m/s por 10, s. Como a velocidade é constante, a aceleração a = 0.
Para a posição nessa fase, usamos:
x(t) = xfinal da ace<=ração + v t çã
Primeiro, calculamos a posição ao final da aceleração (quando t = 12, s):
x(12) = 32 times 12^2 = 32 times 144 = 216, m
Então, durante os 10 segundos seguintes:
x(t) = 216 + 36 times t
onde t agora é o tempo decorrido desde o início dessa fase (ou seja, t vai de 0 a 10 segundos nessa fase).

Passo 5

Na terceira fase, o motorista freia e o carro desacelera uniformemente até parar em 8, s. A velocidade inicial dessa fase é 36, m/s e a velocidade final é 0, m/s.
Usamos novamente a fórmula da velocidade:
v = v0 + a t
0 = 36 + a times 8
a = -368 = -4.5, m/s^2

Passo 6

Para a posição durante a desaceleração, usamos:
x(t) = xinício da desace<=ração + v0 t + 12 a t^2 íçã
Primeiro, calculamos a posição ao final do movimento retilíneo uniforme (após 10 segundos):
x = 216 + 36 times 10 = 216 + 360 = 576, m
Então, durante os 8 segundos de desaceleração:
x(t) = 576 + 36 t + 12 times (-4.5) times t^2
x(t) = 576 + 36 t - 2.25 t^2

Passo 7

Agora, vamos resumir as equações para cada fase:
  1. Aceleração (0 ≤ t ≤ 12 s):
    a(t) = 3, m/s^2
    v(t) = 3 t
    x(t) = 32 t^2
  2. Movimento retilíneo uniforme (12 s < t ≤ 22 s):
    a(t) = 0, m/s^2
    v(t) = 36, m/s
    x(t) = 216 + 36 (t - 12)
  3. Desaceleração (22 s < t ≤ 30 s):
    a(t) = -4.5, m/s^2
    v(t) = 36 - 4.5 (t - 22)
    x(t) = 576 + 36 (t - 22) - 2.25 (t - 22)^2

Resposta

As equações para x(t), v(t) e a(t) são definidas em três fases:
  1. Aceleração (0 ≤ t ≤ 12 s):
    a(t) = 3, m/s^2 v(t) = 3 t x(t) = 32 t^2
  2. Movimento retilíneo uniforme (12 s < t ≤ 22 s):
    a(t) = 0, m/s^2 v(t) = 36, m/s x(t) = 216 + 36 (t - 12)
  3. Desaceleração (22 s < t ≤ 30 s):
    a(t) = -4.5, m/s^2 v(t) = 36 - 4.5 (t - 22) x(t) = 576 + 36 (t - 22) - 2.25 (t - 22)^2
Essas equações permitem traçar os gráficos de x(t), v(t) e a(t) para cada fase do movimento do carro.

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