A velocidade de uma partícula é dada por \mathrm{v}=7 \mathrm{t}^{2}-5, em que t está em segundos e v em metros por segundo. Determinar a função posição da partícula.

Passo 1

O enunciado dá a velocidade da partícula e pede a função posição. Informações relevantes que temos:
  • A velocidade é v(t)=7\,t^{2}-5, com t em segundos e v em metros por segundo.
  • Pergunta: determinar a função posição s(t) (em metros) correspondente a essa velocidade.

Passo 2

Relação fundamental entre posição e velocidade (explicação didática):
  • A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Em notação: v(t)=s'(t).
  • Para obter a posição a partir da velocidade devemos integrar: s(t)=\displaystyle\int v(t)\,dt.
    Pense assim: derivar “diminui” o expoente (regra da derivada); integrar “aumenta” o expoente (regra do integral). A integral traz uma constante arbitrária porque derivando qualquer constante dá zero — por isso surge uma constante de integração.

Passo 3

Regra que vamos usar (regra do poder para integrais):
  • Para n\neq -1, \displaystyle\int t^{n}\,dt=\frac{t^{n+1}}{n+1}+C, onde C é constante de integração.
  • Para constante a, \displaystyle\int a\,dt = a\,t + C.
Aplicando a integral termo a termo em v(t)=7\,t^{2}-5:
s(t)=\int v(t)\,dt=\int\bigl(7\,t^{2}-5\bigr)\,dt.

Passo 4

Integro cada termo separadamente (mostrando os passos):
\int 7\,t^{2}\,dt = 7\int t^{2}\,dt = 7\cdot\frac{t^{3}}{3}=\frac{7}{3}t^{3},
\int (-5)\,dt = -5t.
Somando e adicionando a constante de integração C,
s(t)=\frac{7}{3}t^{3}-5t+C.
Explicação sobre C: sem condição inicial a posição em um instante (por exemplo s(0)) não é conhecida, então mantemos C. Se o enunciado dissesse, por exemplo, que a partícula parte da origem ( s(0)=0), então substituiríamos t=0 em s(t) e obteríamos C=0.

Passo 5

Verificação rápida (para ganhar confiança): derivando s(t) obtemos
s'(t)=\frac{d}{dt}\!\left(\frac{7}{3}t^{3}-5t+C\right)=\frac{7}{3}\cdot 3t^{2}-5=7t^{2}-5,
que é exatamente v(t). A integração está correta.

Resposta

s(t)=\frac{7}{3}t^{3}-5t+C

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