A velocidade de uma partícula é dada por
, em que t está em segundos e v em metros por segundo. Determinar a função posição da partícula.
Passo 1
O enunciado dá a velocidade da partícula e pede a função posição. Informações relevantes que temos:
- A velocidade é
, com em segundos e em metros por segundo. - Pergunta: determinar a função posição
(em metros) correspondente a essa velocidade.
Passo 2
Relação fundamental entre posição e velocidade (explicação didática):
- A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Em notação:
. - Para obter a posição a partir da velocidade devemos integrar:
.
Pense assim: derivar “diminui” o expoente (regra da derivada); integrar “aumenta” o expoente (regra do integral). A integral traz uma constante arbitrária porque derivando qualquer constante dá zero — por isso surge uma constante de integração.
Passo 3
Regra que vamos usar (regra do poder para integrais):
- Para
, , onde é constante de integração. - Para constante
, .
Aplicando a integral termo a termo em
:
Passo 4
Integro cada termo separadamente (mostrando os passos):
Somando e adicionando a constante de integração
,
Explicação sobre
: sem condição inicial a posição em um instante (por exemplo
) não é conhecida, então mantemos
. Se o enunciado dissesse, por exemplo, que a partícula parte da origem (
), então substituiríamos
em
e obteríamos
.
Passo 5
Verificação rápida (para ganhar confiança): derivando
obtemos
que é exatamente
. A integração está correta.