1. O vetor campo elétrico de um feixe de luz monocromática é dada por
\vec{E}=\left(450 \frac{V}{m}\right) \cos \left[\left(1,57 \times 10^{7} m^{-1}\right) y-\omega t\right] \hat{k}
(a) Determine a direção e o sentido de propagação da onda.
(b) Determine os valores de \lambda e de \omega. Esta onda pertence ao espectro visível? Se sim, qual cor será observada?
(c) Determine o vetor campo magnético.
(d) Determine a intensidade do feixe.

Passo 1

O enunciado dá o campo elétrico do feixe monocromático:
\vec{E}=\left(450\\ \frac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}}\right)\cos\!\left[\left(1,57\times10^{7}\\ \mathrm{m}^{-1}\right)y-\omega t\right]\hat{k}.
Perguntas a responder:
(a) direção e sentido de propagação da onda;
(b) valores de \lambda e de \omega; verificar se pertence ao espectro visível e dizer a cor observada;
(c) determinar o vetor campo magnético \vec{B};
(d) determinar a intensidade do feixe.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • amplitude do campo elétrico: E_0=450\\ \mathrm{V/m};
  • número de onda (escalar) ao longo de y: k=1,57\times10^{7}\\ \mathrm{m}^{-1}, aparecendo no argumento como k y-\omega t;
  • o campo elétrico aponta na direção \hat{k} (unidade em z).

Passo 2

Entendendo a forma geral e determinando direção/sentido de propagação.
A forma padrão de uma onda plana progressiva em notação habitual é
\cos(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t),
onde \vec{k} é o vetor de onda: sua direção indica a direção de propagação e seu sentido indica para onde a onda se propaga. No enunciado o argumento é k\,y-\omega t, portanto o vetor de onda é
\vec{k}=k\,\hat{j}=\left(1,57\times10^{7}\\ \mathrm{m}^{-1}\right)\hat{j}.
Logo a onda se propaga na direção positiva do eixo y (sentido + y). Observação importante: o campo elétrico está apontando em \hat{k} (direção z), o que é normal — em uma onda eletromagnética em vácuo \vec{E}, \vec{B} e \vec{k} são mutuamente perpendiculares.

Passo 3

Calcular \lambda e \omega com fórmulas básicas.
Relação entre número de onda e comprimento de onda:
k=\frac{2\pi}{\lambda}.
Isolando \lambda:
\lambda=\frac{2\pi}{k}.
Substituindo k=1,57\times10^{7}\\ \mathrm{m}^{-1}:
\lambda=\frac{2\pi}{1,57\times10^{7}}\\ \mathrm{m}.
Calcule passo a passo: 2\pi\approx6,2831853, então
\lambda\approx\frac{6,2831853}{1,57\times10^{7}}\\ \mathrm{m}\approx4,00\times10^{-7}\\ \mathrm{m}=400\\ \mathrm{nm}.
Relação entre \omega, k e c no vácuo:
\omega = c\,k,
onde c é a velocidade da luz no vácuo (usar c\approx3,00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}). Então
\omega \approx (3,00\times10^{8})(1,57\times10^{7})\\ \mathrm{s}^{-1}\approx4,71\times10^{15}\\ \mathrm{s}^{-1}.
Também opcional: frequência f=\omega/(2\pi)\approx7,50\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}.
Pertinência ao espectro visível e cor: como \lambda\approx400\\ \mathrm{nm}, isto está dentro do intervalo aproximado do visível ( \sim380 750\\ \mathrm{nm}). Comprimentos de onda em torno de 400\\ \mathrm{nm} correspondem à cor violeta (próximo ao violeta/ultravioleta extremo). Portanto a onda é visível e aparecerá violeta.

Passo 4

Determinar o vetor campo magnético \vec{B}.
Teoria usada: para uma onda eletromagnética plana no vácuo as relações entre \vec{E}, \vec{B} e \hat{n} (direção de propagação) são
\vec{B}=\frac{1}{c}\,\hat{n}\times\vec{E},
e a amplitude B_0 está relacionada por
B_0=\frac{E_0}{c}.
Aqui \hat{n}=\hat{j} (propagação + y) e \vec{E}=E_0\cos(k y-\omega t)\,\hat{k}. Faça o produto vetorial:
\hat{j}\times\hat{k}=\hat{i}.
Logo o campo magnético aponta em \hat{i} (direção x, sentido + x). A amplitude numérica:
B_0=\frac{450\\ \mathrm{V/m}}{3,00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}}\approx1,50\times10^{-6}\\ \mathrm{T}.
Portanto
\vec{B}=\left(1,50\times10^{-6}\\ \mathrm{T}\right)\cos\!\left[\left(1,57\times10^{7}\\ \mathrm{m}^{-1}\right)y-\omega t\right]\hat{i}.
(Sintetizando: \vec{E} em \hat{k}, \vec{B} em \hat{i}, \vec{k} em \hat{j}; obedecendo a regra da mão direita.)

Passo 5

Determinar a intensidade média do feixe (fluxo de energia por unidade de área).
Fórmula para intensidade média de uma onda eletromagnética plana no vácuo:
I=\langle S\rangle=\frac{1}{2}\,c\,\epsilon_0\,E_0^{2},
onde \epsilon_0 é a permissividade do vácuo ( \epsilon_0\approx8,854\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}), c já conhecido, e E_0=450\\ \mathrm{V/m}.
Calcule passo a passo:
E_0^{2}=450^{2}=202\,500.
\epsilon_0 E_0^{2}\approx(8,854\times10^{-12})(202\,500)\approx1,7931\times10^{-6}.
\frac{1}{2}c\epsilon_0 E_0^{2}\approx\frac{1}{2}(3,00\times10^{8})(1,7931\times10^{-6})\\ \mathrm{W/m^{2}}\approx2,69\times10^{2}\\ \mathrm{W/m^{2}}.
Assim, a intensidade média é aproximadamente 269\\ \mathrm{W/m^{2}}.

Resposta

(a) Propaga-se na direção positiva do eixo y (sentido + y).
(b) \lambda\approx4,00\times10^{-7}\\ \mathrm{m} e \omega\approx4,71\times10^{15}\\ \mathrm{s}^{-1}. Sim, pertence ao espectro visível; cor observada: violeta.
(c) \displaystyle \vec{B}=\left(1,50\times10^{-6}\\ \mathrm{T}\right)\cos\!\left[\left(1,57\times10^{7}\\ \mathrm{m}^{-1}\right)y-\omega t\right]\hat{i}.
(d) I\approx2,69\times10^{2}\\ \mathrm{W/m^{2}} (aprox. 269\\ \mathrm{W/m^{2}}).

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