Uma partícula se movimenta de tal forma que os espaços, considerados a partir de um ponto de origem são dados pela equação
.
a) Determine as funções de velocidade e de aceleração do móvel em função do tempo (chamadas equações horárias).
b) Determine os instantes para os quais a velocidade pode ser nula.
c) Esboce os gráficos do espaço, velocidade e aceleração em função do tempo.
a) Determine as funções de velocidade e de aceleração do móvel em função do tempo (chamadas equações horárias).
b) Determine os instantes para os quais a velocidade pode ser nula.
c) Esboce os gráficos do espaço, velocidade e aceleração em função do tempo.
Passo 1
O enunciado dá a posição (espaço) da partícula como função do tempo:
Pede:
(a) as funções velocidade e aceleração
(equações horárias);
(b) os instantes em que a velocidade pode ser zero;
(c) esboços dos gráficos de ,
e
em função de
.
(a) as funções velocidade
(b) os instantes
(c) esboços dos gráficos de
As informações relevantes que vamos usar: a função
está dada explicitamente; derivadas de
nos dão
e
; sempre que precisar de raiz quadrada vou indicar o valor exato em termos de
e também uma aproximação numérica para ajudar no esboço.
Passo 2
Lição rápida sobre derivadas (ferramenta que vamos usar): a regra do poder (power rule) diz que, para qualquer
real,
Isso significa que para cada termo
a derivada é
, para
é
, e constantes (como
) têm derivada zero. Aplicando isso a
obtemos a velocidade como a derivada primeira da posição:
Agora calculamos cada derivada:
,
,
. Portanto,
Passo 3
A aceleração é a derivada da velocidade (ou a segunda derivada da posição):
Usando a regra do poder:
e
. Assim
Também podemos factorar as expressões para facilitar interpretação:
Passo 4
Agora encontramos os instantes em que a velocidade é zero, resolvendo
:
Fatorando
temos
Isso dá duas possibilidades:
ou
Logo as soluções exatas são
e
. Para desenho e interpretação numérica,
. Observação útil: se o problema assume tempo físico não negativo (
), então só usamos
e
.
Passo 5
Interpretação do sinal de
e monotonia de
(importante para o esboço de
). As raízes de
são
com
. Como
é um polinômio cúbico ímpar (derivada de uma função par), o padrão de sinais entre as raízes é:
- para
: ; - para
: ; - para
: ; - para
: .
Significado físico/matemático: onde
,
está aumentando (a partícula se afasta da origem); onde
,
está diminuindo (aproxima-se da origem). Assim
tem extremos nos zeros de
. Para classificar extremos, observamos as mudanças de sinal:
- em
a velocidade vai de positiva (à esquerda) para negativa (à direita) → tem um máximo local em ; - em
a velocidade vai de negativa para positiva (à esquerda para a direita) → tem mínimos locais em .
Vamos calcular os valores de
nesses pontos (útil para marcar no esboço). Como
e
,
Calcule por partes:
. Então
Portanto
. E
. Resumo de pontos-chave para
:
Passo 6
Análise da aceleração
: encontramos quando muda de sinal (pontos de inflexão de
e extremos de
). Resolva
:
Numérico:
. Sinal de
:
- para
: (concavidade para baixo em ); - para
: (concavidade para cima).
Relação com
: os pontos onde
são extremos locais de
. Podemos avaliar
nesses pontos para saber a amplitude:
se então
se
portanto
(aprox.). E
. Isso ajuda a desenhar o pico/vale do gráfico da velocidade.
Passo 7
Instruções concretas para esboçar cada gráfico (o que desenhar e por quê):
-
Gráfico de
: - É uma função par (apenas potências pares) → simétrica em relação ao eixo
. - Para
, (termo domina). - Pontos importantes:
(máx. local), (mín. locais), numericamente e . - Entre
e decresce; entre e cresce; entre e decresce; depois cresce. Curvatura muda em .
- É uma função par (apenas potências pares) → simétrica em relação ao eixo
-
Gráfico de
: - É função ímpar (simétrica ímpar), então passa pela origem e tem simetria rotacional de 180°.
- Zeros em
e (aprox. ). - Para
, (cúbica positiva); para , . - Tem um máximo local em
com e um mínimo local em com . - Entre as raízes o sinal alterna conforme o quadro de sinais do Passo 5.
-
Gráfico de
: - É uma parábola mesmo (função par) abrindo para cima.
- Zeros em
. - Para
, (concavidade para baixo); para , (concavidade para cima). - Valor mínimo em
com .
Com esses pontos, sinais e comportamentos assintóticos, é possível desenhar esboços aproximados:
em forma de “W” invertido leve (porque é quartica com máximo em zero e mínimos simétricos),
em forma cúbica passando por
com máximos/mínimos em
, e
em forma de parábola com vértice em
cruzando o eixo em
.
Resposta
(a)
,
.
(b)
. (Se
então
e
.)
(c) Esboço/Características principais:
-
é par; (máx. local); (mín. locais); quando . -
é ímpar; zeros em ; máximo local em com e mínimo local em com . -
é par (parábola); zeros em ; vértice em ; para e para .