Uma partícula se movimenta de tal forma que os espaços, considerados a partir de um ponto de origem são dados pela equação x(t)=t^{4}-13 t^{2}+36.
a) Determine as funções de velocidade e de aceleração do móvel em função do tempo (chamadas equações horárias).
b) Determine os instantes para os quais a velocidade pode ser nula.
c) Esboce os gráficos do espaço, velocidade e aceleração em função do tempo.

Passo 1

O enunciado dá a posição (espaço) da partícula como função do tempo:
x(t)=t^{4}-13t^{2}+36.
Pede:
(a) as funções velocidade v(t) e aceleração a(t) (equações horárias);
(b) os instantes t em que a velocidade pode ser zero;
(c) esboços dos gráficos de x(t), v(t) e a(t) em função de t.
As informações relevantes que vamos usar: a função x(t) está dada explicitamente; derivadas de x(t) nos dão v(t) e a(t); sempre que precisar de raiz quadrada vou indicar o valor exato em termos de \sqrt{\cdot} e também uma aproximação numérica para ajudar no esboço.

Passo 2

Lição rápida sobre derivadas (ferramenta que vamos usar): a regra do poder (power rule) diz que, para qualquer n real,
\frac{d}{dt}\big(t^{n}\big)=n\,t^{n-1}.
Isso significa que para cada termo t^{4} a derivada é 4t^{3}, para t^{2} é 2t, e constantes (como 36) têm derivada zero. Aplicando isso a x(t) obtemos a velocidade como a derivada primeira da posição:
v(t)=\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}\big(t^{4}\big)-13\frac{d}{dt}\big(t^{2}\big)+\frac{d}{dt}(36).
Agora calculamos cada derivada: \frac{d}{dt}(t^{4})=4t^{3}, \frac{d}{dt}(t^{2})=2t, \frac{d}{dt}(36)=0. Portanto,
v(t)=4t^{3}-13\cdot 2t=4t^{3}-26t.

Passo 3

A aceleração é a derivada da velocidade (ou a segunda derivada da posição):
a(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}\big(4t^{3}-26t\big).
Usando a regra do poder: \frac{d}{dt}(4t^{3})=12t^{2} e \frac{d}{dt}(-26t)=-26. Assim
a(t)=12t^{2}-26.
Também podemos factorar as expressões para facilitar interpretação:
v(t)=2t(2t^{2}-13),\qquad a(t)=2(6t^{2}-13).

Passo 4

Agora encontramos os instantes em que a velocidade é zero, resolvendo v(t)=0:
4t^{3}-26t=0.
Fatorando 2t temos
2t(2t^{2}-13)=0.
Isso dá duas possibilidades:
2t=0\implies t=0,
ou
2t^{2}-13=0\implies t^{2}=\frac{13}{2}\implies t=\pm\sqrt{\tfrac{13}{2}}.
Logo as soluções exatas são t=0 e t=\pm\sqrt{13/2}. Para desenho e interpretação numérica, \sqrt{13/2}\approx 2,5495. Observação útil: se o problema assume tempo físico não negativo ( t\ge 0), então só usamos t=0 e t=\sqrt{13/2}.

Passo 5

Interpretação do sinal de v(t) e monotonia de x(t) (importante para o esboço de x(t)). As raízes de v são -r,0,+r com r=\sqrt{13/2}. Como v(t) é um polinômio cúbico ímpar (derivada de uma função par), o padrão de sinais entre as raízes é:
  • para t<-r: v(t)<0;
  • para -r<t<0: v(t)>0;
  • para 0<t<r: v(t)<0;
  • para t>r: v(t)>0.
Significado físico/matemático: onde v>0, x(t) está aumentando (a partícula se afasta da origem); onde v<0, x(t) está diminuindo (aproxima-se da origem). Assim x(t) tem extremos nos zeros de v. Para classificar extremos, observamos as mudanças de sinal:
  • em t=0 a velocidade vai de positiva (à esquerda) para negativa (à direita) → x(t) tem um máximo local em t=0;
  • em t=\pm r a velocidade vai de negativa para positiva (à esquerda para a direita) → x(t) tem mínimos locais em t=\pm r.
Vamos calcular os valores de x nesses pontos (útil para marcar no esboço). Como r^{2}=13/2 e r^{4}=(13/2)^{2}=169/4,
x(r)=r^{4}-13r^{2}+36=\frac{169}{4}-13\cdot\frac{13}{2}+36.
Calcule por partes: 13\cdot\frac{13}{2}=\frac{169}{2}. Então
x(r)=\frac{169}{4}-\frac{169}{2}+36=\frac{169}{4}-\frac{338}{4}+\frac{144}{4}=\frac{(169-338+144)}{4}=\frac{-25}{4}.
Portanto x(\pm r)=-\tfrac{25}{4}=-6,25. E x(0)=36. Resumo de pontos-chave para x(t):
x(0)=36\quad(\text{máx. local}),\qquad x\big(\pm\sqrt{13/2}\big)=-\tfrac{25}{4}\quad(\text{mín. locais}).áí

Passo 6

Análise da aceleração a(t)=12t^{2}-26: encontramos quando muda de sinal (pontos de inflexão de x e extremos de v). Resolva a(t)=0:
12t^{2}-26=0\implies t^{2}=\frac{26}{12}=\frac{13}{6}\implies t=\pm\sqrt{\tfrac{13}{6}}.
Numérico: \sqrt{13/6}\approx 1,4720. Sinal de a(t):
  • para |t|<\sqrt{13/6}: a(t)<0 (concavidade para baixo em x(t));
  • para |t|>\sqrt{13/6}: a(t)>0 (concavidade para cima).
Relação com v(t): os pontos onde a(t)=0 são extremos locais de v(t). Podemos avaliar v nesses pontos para saber a amplitude:
se s=\sqrt{13/6} então
v(s)=4s^{3}-26s=s\big(4s^{2}-26\big)=s\Big(4\cdot\frac{13}{6}-26\Big)=s\Big(\frac{52}{6}-26\Big)=s\Big(-\frac{104}{6}\Big)=-\frac{52}{3}s,
portanto v(s)\approx -25,5 (aprox.). E v(-s)\approx +25,5. Isso ajuda a desenhar o pico/vale do gráfico da velocidade.

Passo 7

Instruções concretas para esboçar cada gráfico (o que desenhar e por quê):
  • Gráfico de x(t)=t^{4}-13t^{2}+36:
    • É uma função par (apenas potências pares) → simétrica em relação ao eixo t=0.
    • Para t\to\pm\infty, x(t)\to+\infty (termo t^{4} domina).
    • Pontos importantes: (0,36) (máx. local), \big(\pm\sqrt{13/2},-\tfrac{25}{4}\big) (mín. locais), numericamente \pm 2,5495 e -6,25.
    • Entre -\infty e -\sqrt{13/2} decresce; entre -\sqrt{13/2} e 0 cresce; entre 0 e \sqrt{13/2} decresce; depois cresce. Curvatura muda em t=\pm\sqrt{13/6}\approx\pm1,472.
  • Gráfico de v(t)=4t^{3}-26t:
    • É função ímpar (simétrica ímpar), então passa pela origem e tem simetria rotacional de 180°.
    • Zeros em t=0 e t=\pm\sqrt{13/2} (aprox. \pm 2,5495).
    • Para t\to+\infty, v(t)\to+\infty (cúbica positiva); para t\to-\infty, v(t)\to-\infty.
    • Tem um máximo local em t\approx-1,472 com v\approx+25,5 e um mínimo local em t\approx+1,472 com v\approx-25,5.
    • Entre as raízes o sinal alterna conforme o quadro de sinais do Passo 5.
  • Gráfico de a(t)=12t^{2}-26:
    • É uma parábola mesmo (função par) abrindo para cima.
    • Zeros em t=\pm\sqrt{13/6}\approx\pm1,472.
    • Para |t|<1,472, a(t)<0 (concavidade para baixo); para |t|>1,472, a(t)>0 (concavidade para cima).
    • Valor mínimo em t=0 com a(0)=-26.
Com esses pontos, sinais e comportamentos assintóticos, é possível desenhar esboços aproximados: x(t) em forma de “W” invertido leve (porque é quartica com máximo em zero e mínimos simétricos), v(t) em forma cúbica passando por (-r,0),(0,0),(r,0) com máximos/mínimos em \pm s, e a(t) em forma de parábola com vértice em (0,-26) cruzando o eixo em \pm s.

Resposta

(a) v(t)=4t^{3}-26t, a(t)=12t^{2}-26.
(b) t=0,\;t=\pm\sqrt{\tfrac{13}{2}}. (Se t\ge 0 então t=0 e t=\sqrt{\tfrac{13}{2}}.)
(c) Esboço/Características principais:
  • x(t) é par; x(0)=36 (máx. local); x\big(\pm\sqrt{13/2}\big)=-\tfrac{25}{4} (mín. locais); x(t)\to+\infty quando |t|\to\infty.
  • v(t) é ímpar; zeros em t=0,\pm\sqrt{13/2}; máximo local em t\approx-1,472 com v\approx+25,5 e mínimo local em t\approx+1,472 com v\approx-25,5.
  • a(t) é par (parábola); zeros em t=\pm\sqrt{13/6}\approx\pm1,472; vértice em (0,-26); a(t)>0 para |t|>\sqrt{13/6) e a(t)<0 para |t|<\sqrt{13/6}.

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