A velocidade de um projétil no ponto mais alto de sua trajetória vale (6 / 7)^{1 / 2} da sua velocidade quando ele passa pela metade da altura máxima da trajetória. Calcule o ângulo formado entre a velocidade inicial do projétil e a horizontal. Justifique a sua resposta.

Passo 1

O enunciado trata de um projétil lançado com velocidade inicial v_0 num ângulo \theta em relação à horizontal. Ele diz que a velocidade no ponto mais alto da trajetória vale \sqrt{\tfrac{6}{7}} da velocidade quando o projétil atinge metade da altura máxima. Vamos usar cinemática de lançamento oblíquo e conservação de energia (ou equações de movimento) para relacionar essas velocidades e determinar \theta.

Passo 2

No ponto mais alto da trajetória a componente vertical da velocidade é nula, sobrando apenas a componente horizontal, que é constante ao longo do movimento:
v_{\text{topo}} = v_0\cos\theta.

Passo 3

A altura máxima H do projétil satisfaz
H = \frac{(v_0\sin\theta)^2}{2g}.
No ponto em que a altura é H/2, usamos a equação de conservação da energia (ou v_y^2 = v_{y0}^2 - 2g\Delta y) para obter a componente vertical:
v_y^2 = (v_0\sin\theta)^2 - 2g\frac{H}{2} = v_0^2\sin^2\theta - gH = v_0^2\sin^2\theta - \frac{v_0^2\sin^2\theta}{2} = \frac{v_0^2\sin^2\theta}{2}.
Assim,
v_y = \frac{v_0\sin\theta}{\sqrt{2}}, \quad v_x = v_0\cos\theta.
A velocidade total nesse ponto vale
v_{\tfrac{H}{2}} = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = v_0\sqrt{\cos^2\theta + \frac{\sin^2\theta}{2}} = v_0\sqrt{\frac{2\cos^2\theta + \sin^2\theta}{2}} = v_0\sqrt{\frac{1 + \cos^2\theta}{2}}.

Passo 4

Pelo enunciado,
v_{\text{topo}} = \sqrt{\frac{6}{7}}\,v_{\tfrac{H}{2}}.
Substituindo as expressões:
v_0\cos\theta = \sqrt{\frac{6}{7}}\;v_0\sqrt{\frac{1 + \cos^2\theta}{2}}.
Cancelando v_0 e elevando ao quadrado,
\cos^2\theta = \frac{6}{7}\,\frac{1 + \cos^2\theta}{2} \;\implies\; 7\cos^2\theta = 3\bigl(1 + \cos^2\theta\bigr) \;\implies\; 4\cos^2\theta = 3 \;\implies\; \cos^2\theta = \frac{3}{4}.
Logo \cos\theta = \tfrac{\sqrt{3}}{2}, dando

Resposta

\displaystyle \theta = 30^\circ.

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