Uma linha de carga está uniformemente carregada e encontra-se sobre o eixo
, de modo que seu centro esteja na origem de sistema de coordenadas. Esta linha possui 50 cm de comprimento e sua carga total vale
. Uma carga pontual de valor
está sobre o eixo oy, a uma distância
do centro da linha. (a) Calcule a força elétrica da linha sobre a carga pontual em função de
. (b) Qual a direção e sentido desta força? (c) Mostre que se
for grande em relação ao comprimento da linha, esta se comporta como uma carga pontual. (d) Neste caso, qual o valor da força elétrica para
? (e) Compare este resultado com o valor exato.
Passo 1
O enunciado descreve uma linha de carga de comprimento
centrada na origem sobre o eixo
, com carga total
uniformemente distribuída. Uma carga pontual
está sobre o eixo
a uma distância
do centro da linha. O conteúdo é aplicação da Lei de Coulomb por integração contínua.
Passo 2
Escolhemos um elemento de carga na linha, em
,
A força diferencial sobre
é
onde
e
.
Passo 3
Decompomos
em componentes. A componente
é
que, por ser função ímpar em
integrada de
a
, dá
.
Passo 4
A componente
é
Integramos de
a
:
Passo 5
Usando
, nota-se
, logo
Como
e
, a força aponta no sentido negativo de
.
Passo 6
Para
, temos
, então
isto é, o comportamento de carga pontual
no centro.
Passo 7
Para
, usando a aproximação de carga pontual,
Passo 8
Para o valor exato em
,
diferença desprezível em relação à aproximação.
Resposta
(a)
, com
(b) Direção ao longo do eixo
, sentido negativo (atração).
(c) Para ,
(c) Para
comportamento de carga pontual
no centro.
(d) Aproximando como carga pontual em ,
(d) Aproximando como carga pontual em ,
(e) Valor exato em
:
praticamente igual ao aproximado.