Uma linha de carga está uniformemente carregada e encontra-se sobre o eixo o x, de modo que seu centro esteja na origem de sistema de coordenadas. Esta linha possui 50 cm de comprimento e sua carga total vale 3 \mu C. Uma carga pontual de valor -5 \mu C está sobre o eixo oy, a uma distância y do centro da linha. (a) Calcule a força elétrica da linha sobre a carga pontual em função de y. (b) Qual a direção e sentido desta força? (c) Mostre que se y for grande em relação ao comprimento da linha, esta se comporta como uma carga pontual. (d) Neste caso, qual o valor da força elétrica para y=10 m ? (e) Compare este resultado com o valor exato.

Passo 1

O enunciado descreve uma linha de carga de comprimento L=0,50\m centrada na origem sobre o eixo x, com carga total Q=3\mu C uniformemente distribuída. Uma carga pontual q=-5\mu C está sobre o eixo y a uma distância y do centro da linha. O conteúdo é aplicação da Lei de Coulomb por integração contínua.

Passo 2

Escolhemos um elemento de carga na linha, em x\in[-L/2,L/2],
dq = \lambda\,dx,\quad \lambda = \frac{Q}{L}.
A força diferencial sobre q é
d\vec F = k\,\frac{q\,dq}{r^2}\,\hat r,
onde \vec r = (-x,y) e r=\sqrt{x^2+y^2}.

Passo 3

Decompomos d\vec F em componentes. A componente x é
dF_x = k\,\frac{q\,\lambda\,dx}{(x^2+y^2)}\;\frac{-x}{\sqrt{x^2+y^2}},
que, por ser função ímpar em x integrada de -L/2 a L/2, dá F_x=0.

Passo 4

A componente y é
dF_y = k\,\frac{q\,\lambda\,dx}{(x^2+y^2)}\;\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} = k\,q\,\lambda\,\frac{y\,dx}{(x^2+y^2)^{3/2}}.
Integramos de -L/2 a L/2:
F_y = k\,q\,\lambda \int_{-L/2}^{L/2}\frac{y\,dx}{(x^2+y^2)^{3/2}} =2\,k\,q\,\lambda\,\frac{(L/2)}{y\,\sqrt{(L/2)^2+y^2}}.

Passo 5

Usando \lambda=L^{-1}Q, nota-se 2\lambda\,(L/2)=Q, logo
F_y = k\,\frac{q\,Q}{y\,\sqrt{\bigl(\tfrac{L}{2}\bigr)^2+y^2}}.
Como q<0 e Q>0, a força aponta no sentido negativo de y.

Passo 6

Para y\gg L/2, temos \sqrt{(L/2)^2+y^2}\approx y, então
F_y\approx k\,\frac{q\,Q}{y^2},
isto é, o comportamento de carga pontual Q no centro.

Passo 7

Para y=10\m, usando a aproximação de carga pontual,
F_{\text{aprox}} = k\,\frac{(-5\times10^{-6})(3\times10^{-6})}{(10)^2} \approx -1,35\times10^{-3}\N.

Passo 8

Para o valor exato em y=10\m,
F_y =9\times10^9\;\frac{(-5\times10^{-6})(3\times10^{-6})} {10\,\sqrt{(0{,}25)^2+10^2}} \approx -1,349\times10^{-3}\N,
diferença desprezível em relação à aproximação.

Resposta

(a) \displaystyle \vec F(y)=F_y\,\hat\jmath, com
F_y = k\,\frac{q\,Q}{y\,\sqrt{\bigl(\tfrac{L}{2}\bigr)^2+y^2}}.
(b) Direção ao longo do eixo y, sentido negativo (atração).
(c) Para y\gg L/2,
F_y\approx k\,\frac{q\,Q}{y^2},
comportamento de carga pontual Q no centro.
(d) Aproximando como carga pontual em y=10\m,
F_{\text{aprox}}\approx -1,35\times10^{-3}\N.
(e) Valor exato em y=10\m:
F_{\text{exato}}\approx -1,349\times10^{-3}\N,
praticamente igual ao aproximado.

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