Uma corda, cujo comprimento é \mathrm{L}=80 \mathrm{~cm} e a massa é \mathrm{m}=2 \mathrm{~kg}, está pendurada da extremidade de um plano, tal que o comprimento L_{0} do segmento vertical é 50 cm . A outra extremidade da corda é fixa por um prego. Num certo instante, o prego é arrancado. Qual é a velocidade da corda no momento em que deixa completamente o plano? Despreze o atrito. Justifique a sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá uma corda de comprimento \mathrm{L}=80\,\mathrm{cm}=0,8\,\mathrm{m} e massa \mathrm{m}=2\,\mathrm{kg}. Inicialmente, um segmento vertical de comprimento \mathrm{L_0}=50\,\mathrm{cm}=0,5\,\mathrm{m} está pendurado abaixo da extremidade de um plano (sem atrito) e o restante da corda \bigl(\mathrm{L}-\mathrm{L_0}=0,3\,\mathrm{m}\bigr) está em contato com o plano. Quando o prego que fixa a outra extremidade é arrancado, toda a corda desliza e, no instante em que ela deixa completamente o plano, queremos sua velocidade. Vamos usar conservação de energia mecânica, tomando o nível zero de energia potencial gravitacional na altura do plano.

Passo 2

Calculemos a densidade linear de massa da corda e as massas dos dois trechos iniciais:
\lambda = \frac{m}{L} = \frac{2}{0,8} = 2{,}5\;\mathrm{kg/m}.
O segmento vertical inicial tem massa
m_v = \lambda\,L_0 = 2{,}5\times0,5 = 1{,}25\;\mathrm{kg},
e o segmento sobre o plano tem massa
m_p = \lambda\,(L - L_0) = 2{,}5\times0,3 = 0{,}75\;\mathrm{kg}.

Passo 3

Vamos calcular a energia potencial gravitacional inicial U_i e final U_f, tomando U=0 na altura do plano.
  • Inicialmente, só o segmento vertical contribui: seu centro de massa está a L_0/2=0,25\,\mathrm{m} abaixo do plano, logo
U_i = m_v\,g\bigl(-\tfrac{L_0}{2}\bigr) = 1{,}25\;g\;(-0,25) = -0{,}3125\,g\;\mathrm{J}.
O segmento sobre o plano tem U=0.
  • No instante em que a corda toda deixa o plano, ela está inteiramente vertical com comprimento L, e seu centro de massa fica a L/2=0,4\,\mathrm{m} abaixo do plano. Assim
U_f = m\,g\bigl(-\tfrac{L}{2}\bigr) = 2\;g\;(-0,4) = -0{,}8\,g\;\mathrm{J}.

Passo 4

Pela conservação de energia mecânica (sem atrito):
U_i + 0 = U_f + \tfrac12\,m\,v^2 \quad\Longrightarrow\quad \tfrac12\,m\,v^2 = U_i - U_f.
Substituindo U_i=-0{,}3125\,g e U_f=-0{,}8\,g:
\tfrac12\cdot2\;v^2 = \bigl(-0{,}3125\,g\bigr)-\bigl(-0{,}8\,g\bigr) = 0{,}4875\,g \quad\Longrightarrow\quad v^2 = 0{,}4875\;g.
Tomando g=9,8\,\mathrm{m/s^2},
v = \sqrt{0{,}4875\times9{,}8}\approx2{,}19\;\mathrm{m/s}.

Resposta

A velocidade da corda no momento em que ela deixa completamente o plano é aproximadamente
v \approx 2{,}19\;\mathrm{m/s}.

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