A velocidade de reação (taxa) de uma enzima foi medida em função da concentração inicial de substrato conforme os dados abaixo. Assumindo uma cinética enzimática de Michaelis-Menten, calcule os parâmetros cinéticos deste processo ( \mathrm{v}_{\text {max }} \mathrm{e} \mathrm{K}_{\mathrm{M}} ).
[\mathrm{S}], 10^{-4} \mathrm{~mol} / \mathrm{L} 0,30 0,50 1,00 3,00 9,00
Taxa, (\mathrm{mmol} / \mathrm{Ls}) 20,8 29,0 45,0 67,6 81,0
Sabendo que a concentração de enzima \left[\mathrm{E}_{0}\right]=1 \mathrm{mmol} / \mathrm{L}, calcule o número de moléculas de produto formado por molécula de enzima por segundo “turnover number” que é o valor de \mathrm{k}_{2}. Atenção: \mathrm{mmol}=10^{-3} \mathrm{~mol}.

Passo 1

O enunciado pede: calcular os parâmetros cinéticos \mathrm{V}_{\max} e \mathrm{K}_{M} assumindo cinética de Michaelis–Menten, usando os dados experimentais da tabela, e em seguida calcular o número de turnover \mathrm{k}_2 sabendo \left[\mathrm{E}_0\right]=1\\ \mathrm{mmol}/\mathrm{L}.
Dados fornecidos (peguei os valores diretamente da tabela do enunciado):
\begin{array}{c|ccccc} [\mathrm{S}]\\ (\times 10^{-4}\\ \mathrm{mol}/\mathrm{L}) & 0{,}30 & 0{,}50 & 1{,}00 & 3{,}00 & 9{,}00\\hline \text{Taxa }v\\ (\mathrm{mmol}/\mathrm{L\,s}) & 20{,}8 & 29{,}0 & 45{,}0 & 67{,}6 & 81{,}0 \end{array}
O objetivo final é entregar \mathrm{V}_{\max}, \mathrm{K}_{M} e \mathrm{k}_2.

Passo 2

Apresento a equação de Michaelis–Menten e o significado das variáveis (aula rápida e prática):
v=\frac{V_{\max}[S]}{K_M+[S]}.
Aqui:
  • [S] é a concentração de substrato (mol/L),
  • v é a velocidade inicial (mol/L/s),
  • V_{\max} é a velocidade máxima (mol/L/s),
  • K_M é a constante de Michaelis (mol/L), medida da afinidade aparente (menor K_M → maior afinidade),
  • \mathrm{k}_2 (ou k_{\text{cat}}) é o turnover por segundo por molécula de enzima, e vale \mathrm{k}_2=V_{\max}/[E_0].

Passo 3

Escolha do método para obter \mathrm{V}_{\max} e \mathrm{K}_{M}: vou usar a linearização de Hanes–Woolf porque é simples de aplicar manualmente e menos inclinada a exagerar erros em baixas velocidades do que o duplo recíproco clássico. A forma linear é:
\frac{[S]}{v}=\frac{1}{V_{\max}}[S]+\frac{K_M}{V_{\max}}.
Nessa forma, fazendo regressão linear de y=\frac{[S]}{v} versus x=[S] obtemos:
  • coeficiente angular m=\frac{1}{V_{\max}},
  • ordenada na origem b=\frac{K_M}{V_{\max}}.

Passo 4

Conversões de unidade (super importantes — anote isto para a prova):
  • Os valores de [S] na tabela estão em unidades de 10^{-4}\\ \mathrm{mol}/\mathrm{L}. Vou convertê-los para \mathrm{mol}/\mathrm{L} multiplicando por 10^{-4}.
  • As velocidades v estão em \mathrm{mmol}/\mathrm{L\,s}; como 1\\ \mathrm{mmol}=10^{-3}\\ \mathrm{mol}, converto para \mathrm{mol}/\mathrm{L\,s} multiplicando por 10^{-3}.
Então os pares ([S],v) em \mathrm{mol}/\mathrm{L} e \mathrm{mol}/\mathrm{L\,s} (peguei os números da tabela e apliquei as conversões) são:
\begin{array}{c|ccccc} [\mathrm{S}]\\ (\mathrm{mol}/\mathrm{L}) & 3{,}0\!\times\!10^{-5} & 5{,}0\!\times\!10^{-5} & 1{,}0\!\times\!10^{-4} & 3{,}0\!\times\!10^{-4} & 9{,}0\!\times\!10^{-4}\\hline v\\ (\mathrm{mol}/\mathrm{L\,s}) & 2{,}08\!\times\!10^{-2} & 2{,}90\!\times\!10^{-2} & 4{,}50\!\times\!10^{-2} & 6{,}76\!\times\!10^{-2} & 8{,}10\!\times\!10^{-2} \end{array}

Passo 5

Calculei os valores de y=\dfrac{[S]}{v} para cada ponto (mostro uma conta de exemplo e depois a lista):
Exemplo: para o primeiro ponto \dfrac{[S]}{v}=\dfrac{3{,}0\!\times\!10^{-5}}{2{,}08\!\times\!10^{-2}}=0{,}0014423077\\ \mathrm{s}.
Agora a lista (peguei os valores convertidos do passo anterior):
\begin{array}{c|ccccc} [S]\\ (\mathrm{mol}/\mathrm{L}) & 3{,}0\!\times\!10^{-5} & 5{,}0\!\times\!10^{-5} & 1{,}0\!\times\!10^{-4} & 3{,}0\!\times\!10^{-4} & 9{,}0\!\times\!10^{-4}\\hline \dfrac{[S]}{v}\\ (\mathrm{s}) & 1{,}4423077\!\times\!10^{-3} & 1{,}7241379\!\times\!10^{-3} & 2{,}2222222\!\times\!10^{-3} & 4{,}4378698\!\times\!10^{-3} & 1{,}1111111\!\times\!10^{-2} \end{array}

Passo 6

Faço agora a regressão linear y = m x + b pelos fórmulas de mínimos quadrados. Primeiro computo as somas necessárias (aqui mostro os números que calculei a partir dos pontos acima):
\begin{aligned} n&=5,\\\ \sum x &=0{,}00138\\ (\mathrm{mol}/\mathrm{L}),\\\ \sum y &=0{,}0209376487791\\ (\mathrm{s}),\\\ \sum xy &=1{,}1682059296289\times10^{-5}\\ (\mathrm{s}\cdot\mathrm{mol}/\mathrm{L}),\\\ \sum x^2 &=9{,}134\times10^{-7}\\ (\mathrm{mol}^2/\mathrm{L}^2). \end{aligned}
As fórmulas para coeficiente angular m e intercepto b são:
m=\frac{n\sum xy - (\sum x)(\sum y)}{n\sum x^2 - (\sum x)^2},\qquad b=\frac{\sum y - m\sum x}{n}.

Passo 7

Calculo do coeficiente angular e da intercepto (aqui realizo as contas substituindo as somas):
\begin{aligned} n\sum xy &=5\cdot 1{,}1682059296289\times10^{-5}=5{,}8410296481445\times10^{-5},\\\ (\sum x)(\sum y) &=0{,}00138\cdot 0{,}0209376487791=2{,}8893955315158\times10^{-5},\\\ \text{numerador } &=5{,}8410296481445\times10^{-5}-2{,}8893955315158\times10^{-5}=2{,}9516341166287\times10^{-5},\\[6pt] n\sum x^2 &=5\cdot 9{,}134\times10^{-7}=4{,}567\times10^{-6},\\\ (\sum x)^2 &=(0{,}00138)^2=1{,}9044\times10^{-6},\\\ \text{denominador } &=4{,}567\times10^{-6}-1{,}9044\times10^{-6}=2{,}6626\times10^{-6}. \end{aligned}
Logo
m=\frac{2{,}9516341166287\times10^{-5}}{2{,}6626\times10^{-6}}\approx 11{,}089\\ (\mathrm{s}\cdot\mathrm{L}/\mathrm{mol}).
E
b=\frac{\sum y - m\sum x}{n}=\frac{0{,}0209376487791-11{,}089\cdot0{,}00138}{5}\approx 0{,}0011269658\\ \mathrm{s}.]

Passo 8

Interpretação e cálculo de \mathrm{V}_{\max} e \mathrm{K}_{M} a partir dos coeficientes:
Pela forma de Hanes–Woolf temos m=\dfrac{1}{V_{\max}} e b=\dfrac{K_M}{V_{\max}}. Portanto
V_{\max}=\frac{1}{m}\approx\frac{1}{11{,}089}=0{,}090163\\ \mathrm{mol}/\mathrm{L\,s}.
Em unidades mais próximas aos dados originais (mmol/Ls):
V_{\max}=0{,}090163\\ \mathrm{mol}/\mathrm{L\,s}=90{,}163\\ \mathrm{mmol}/\mathrm{L\,s}.
E
K_M=b\cdot V_{\max}\approx 0{,}0011269658\cdot 0{,}090163=1{,}014\times10^{-4}\\ \mathrm{mol}/\mathrm{L}.
Observação prática: esse K_M em relação às unidades da tabela ( \times10^{-4}\\ \mathrm{mol}/\mathrm{L}) corresponde aproximadamente a 1{,}01 na escala mostrada na tabela (ou seja, próximo de [S]=1{,}00 da tabela).

Passo 9

Cálculo do turnover number \mathrm{k}_2 (também chamado k_{\text{cat}}): usamos
\mathrm{k}_2=\frac{V_{\max}}{[E_0]}.
Converter [E_0]=1\\ \mathrm{mmol}/\mathrm{L}=1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{mol}/\mathrm{L}. Então
\mathrm{k}_2=\frac{0{,}090163\\ \mathrm{mol}/\mathrm{L\,s}}{1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{mol}/\mathrm{L}}=90{,}163\\ \mathrm{s}^{-1}.

Resposta

\mathrm{V}_{\max}=0{,}09016\\ \mathrm{mol}/\mathrm{L\,s}=90{,}16\\ \mathrm{mmol}/\mathrm{L\,s}
\mathrm{K}_{M}=1{,}014\times10^{-4}\\ \mathrm{mol}/\mathrm{L}
\mathrm{k}_2=90{,}16\\ \mathrm{s}^{-1}

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