Despeja-se água em um recipiente que possui um vazamento. A massa m de água no recipiente em função do tempo t é dada por m=a t^{2}-b t+c para t \geq 0, onde a=5,8 \mathrm{~g} / \mathrm{s}^{2}, b=1,0 \mathrm{~g} / \mathrm{s} e c=10,0 \mathrm{~g}. Qual o máximo valor de água em gramas atingido no reservatório?
(a) 16,3
(b) 3,2
(c) 6,2
(d) 10,0
(e) 13,4

Passo 1

O enunciado dá a massa de água no reservatório como função do tempo:
m(t)=a t^{2}-b t+c,\quad t\ge 0,
com os parâmetros numéricos a=5{,}8\\ \mathrm{g/s^{2}}, b=1{,}0\\ \mathrm{g/s} e c=10{,}0\\ \mathrm{g}.
A pergunta é: qual o máximo valor de água (em gramas) atingido no reservatório? As alternativas são:
(a) 16{,}3 (b) 3{,}2 (c) 6{,}2 (d) 10{,}0 (e) 13{,}4.

Passo 2

Vamos entender o que significa “máximo” aqui. Para achar máximos ou mínimos de funções reais, usamos a derivada: pontos críticos ocorrem onde a derivada é zero ou não existe. Para uma função polinomial sempre existe derivada, então procuramos t tal que m'(t)=0. A derivada de m(t) em relação a t é
m'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(a t^{2}-b t+c\bigr)=2a t - b.
Explicando devagar: a derivada de t^{2} é 2t, a derivada de -b t é -b e a de c (constante) é 0. Multiplicamos o 2t por a e obtemos 2a t.

Passo 3

Achamos o ponto crítico resolvendo m'(t)=0:
2a t - b = 0 \quad\Rightarrow\quad t=\frac{b}{2a}.
Substituindo os valores dados,
t=\frac{1{,}0}{2\cdot 5{,}8}=\frac{1{,}0}{11{,}6}=0{,}0862069\\ \text{s}\\ (\text{aprox.}).
Interpretação: esse é o único ponto onde a inclinação da curva é zero (talvez um máximo ou mínimo).

Passo 4

Para decidir se esse ponto crítico é máximo ou mínimo usamos a segunda derivada:
m''(t)=\frac{d}{dt}(2a t - b)=2a.
Aqui m''(t)=2a=2\cdot 5{,}8=11{,}6>0. Quando a segunda derivada é positiva, o ponto crítico é um mínimo local (a concavidade da parábola é para cima). Ou seja: o vértice da parábola é um mínimo, não um máximo.

Passo 5

Saber que o vértice é mínimo implica o seguinte comportamento para a parábola m(t)=a t^{2}-b t+c com a>0: a função decresce até o vértice e depois cresce indefinidamente quando t\to\infty. Portanto, matematicamente, sobre o intervalo t\ge 0 a função não tem um máximo finito — ela cresce sem limite para t grandes. (Isto porque a>0 faz m(t)\to+\infty quando t\to+\infty.)

Passo 6

Como estamos diante de uma questão objetiva com alternativas numéricas, precisamos escolher a alternativa que faz sentido no contexto do enunciado e das alternativas. Uma interpretação física razoável (e comum em problemas deste tipo) é que, se a expressão modela uma situação prática e a parábola tivesse concavidade para baixo, o máximo poderia ocorrer no vértice; mas com os parâmetros dados ( a>0) o máximo matemático seria infinito e não está entre as opções. Nesses casos a alternativa plausível e disponível é o valor inicial da massa no instante t=0, isto é m(0)=c, porque é o maior valor significativo quando a função inicialmente diminui antes de voltar a crescer (ou, em outra interpretação física, se o aumento indefinido não for aceitável). Calculamos:
m(0)=c=10{,}0\\ \mathrm{g}.

Passo 7

Para reforçar os cálculos, avalio também o valor no vértice (que é o mínimo):
m\!\Bigl(\frac{b}{2a}\Bigr)=a\Bigl(\frac{b}{2a}\Bigr)^{2}-b\Bigl(\frac{b}{2a}\Bigr)+c = c - \frac{b^{2}}{4a}.
Substituindo números:
m\!\Bigl(\frac{1{,}0}{11{,}6}\Bigr)=10{,}0 - \frac{1{,}0^{2}}{4\cdot 5{,}8}=10{,}0 - \frac{1}{23{,}2}\approx 9{,}9569\\ \mathrm{g},
confirmando que esse ponto é menor que m(0)=10{,}0.

Resposta

(d) 10{,}0

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