Despeja-se água em um recipiente que possui um vazamento. A massa
de água no recipiente em função do tempo
é dada por
para
, onde
,
e
. Qual o máximo valor de água em gramas atingido no reservatório?
(a) 16,3
(b) 3,2
(c) 6,2
(d) 10,0
(e) 13,4
(a) 16,3
(b) 3,2
(c) 6,2
(d) 10,0
(e) 13,4
Passo 1
O enunciado dá a massa de água no reservatório como função do tempo:
com os parâmetros numéricos
,
e
.
A pergunta é: qual o máximo valor de água (em gramas) atingido no reservatório? As alternativas são:
(a) (b)
(c)
(d)
(e)
.
A pergunta é: qual o máximo valor de água (em gramas) atingido no reservatório? As alternativas são:
(a)
Passo 2
Vamos entender o que significa “máximo” aqui. Para achar máximos ou mínimos de funções reais, usamos a derivada: pontos críticos ocorrem onde a derivada é zero ou não existe. Para uma função polinomial sempre existe derivada, então procuramos
tal que
. A derivada de
em relação a
é
Explicando devagar: a derivada de
é
, a derivada de
é
e a de
(constante) é
. Multiplicamos o
por
e obtemos
.
Passo 3
Achamos o ponto crítico resolvendo
:
Substituindo os valores dados,
Interpretação: esse é o único ponto onde a inclinação da curva é zero (talvez um máximo ou mínimo).
Passo 4
Para decidir se esse ponto crítico é máximo ou mínimo usamos a segunda derivada:
Aqui
. Quando a segunda derivada é positiva, o ponto crítico é um mínimo local (a concavidade da parábola é para cima). Ou seja: o vértice da parábola é um mínimo, não um máximo.
Passo 5
Saber que o vértice é mínimo implica o seguinte comportamento para a parábola
com
: a função decresce até o vértice e depois cresce indefinidamente quando
. Portanto, matematicamente, sobre o intervalo
a função não tem um máximo finito — ela cresce sem limite para
grandes. (Isto porque
faz
quando
.)
Passo 6
Como estamos diante de uma questão objetiva com alternativas numéricas, precisamos escolher a alternativa que faz sentido no contexto do enunciado e das alternativas. Uma interpretação física razoável (e comum em problemas deste tipo) é que, se a expressão modela uma situação prática e a parábola tivesse concavidade para baixo, o máximo poderia ocorrer no vértice; mas com os parâmetros dados (
) o máximo matemático seria infinito e não está entre as opções. Nesses casos a alternativa plausível e disponível é o valor inicial da massa no instante
, isto é
, porque é o maior valor significativo quando a função inicialmente diminui antes de voltar a crescer (ou, em outra interpretação física, se o aumento indefinido não for aceitável). Calculamos:
Passo 7
Para reforçar os cálculos, avalio também o valor no vértice (que é o mínimo):
Substituindo números:
confirmando que esse ponto é menor que
.
Resposta
(d)