As vendas mensais de um produto seguem distribuição normal com média \mathrm{R} \ 50.000,00 e desvio padrãoã\mathrm{R} $8.000,00 . Qual a probabilidade das vendas ultrapassarem\mathrm{R} $ 60.000,00 \mathrm{em}$ um mês qualquer?

Passo 1

O enunciado dá as vendas mensais como uma variável aleatória com distribuição normal e informa os parâmetros e o que pedir:
  • Média: \mu=\mathrm{R}\$\,50.000,00.
  • Desvio padrão: \sigma=\mathrm{R}\$\,8.000,00.
  • Queremos a probabilidade de as vendas ultrapassarem \mathrm{R}\$\,60.000,00 num mês qualquer, isto é, calcular P(X>60000).

Passo 2

Defino a variável aleatória das vendas:
X\sim N(\mu,\sigma^2),\quad\text{com }\mu=50000,\\ \sigma=8000.
O objetivo é calcular
P(X>60000).

Passo 3

Para trabalhar com a normal usamos a padronização (transformar em normal padrão). A fórmula de padronização é
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
onde:
  • X é a variável original (vendas),
  • \mu é a média,
  • \sigma é o desvio padrão,
  • Z é a variável com distribuição normal padrão N(0,1) (média 0 e desvio 1).
    Aplicando para X=60000:
z=\frac{60000-50000}{8000}=\frac{10000}{8000}=1,25.

Passo 4

Usando a padronização, a probabilidade fica
P(X>60000)=P\!\left(Z>1,25\right),
onde Z\sim N(0,1). A função de distribuição acumulada da normal padrão é \Phi(z)=P(Z\le z). Então
P(Z>1,25)=1-\Phi(1,25).
Explico como ler \Phi(1,25): em uma tabela da normal padrão, procurar a linha 1,2 e a coluna 0,05; o valor nessa interseção é \Phi(1,25).

Passo 5

Consultando a tabela padrão (ou calculadora) obtém-se
\Phi(1,25)=0,89435.
Portanto
P(Z>1,25)=1-0,89435=0,10565.
Em porcentagem, isso é aproximadamente 10,565\%. Interpretação: em um mês qualquer a probabilidade de as vendas excederem \mathrm{R}\$\,60.000,00 é cerca de 10{,}6\%.

Resposta

0,10565\approx10,57\%

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