Use a Regra da Cadeia para determinar d vd t :
v=x ln (x+2 y), com x=sen(t) e y=cos (t)

Passo 1

O enunciado pede para calcular dvdt sendo v = xln(x+2y) com x=sin(t) e y=cos(t). Vamos usar derivadas parciais, a Regra da Cadeia para função de várias variáveis e a Regra do Produto.

Passo 2

Quando temos uma função v(x,y) e tanto x quanto y dependem de t, a Regra da Cadeia diz:
dvdt = partial vpartial x cdot dxdt + partial vpartial y cdot dydt

Passo 3

Para calcular as derivadas parciais de v = xln(u) onde u = x+2y, aplicamos Regra do Produto e Regra da Cadeia:
partial vpartial x = 1cdotln(u) + xcdot1ucdotpartial upartial x = ln(u) + xu,
partial vpartial y = xcdot1ucdotpartial upartial y = xcdot1ucdot2 = 2xu

Passo 4

Como x=sin(t) e y=cos(t), temos:
dxdt = cos(t), dydt = -sin(t)

Passo 5

Substituindo tudo em dvdt:
dvdt = l(ln(u) + xur)cos(t) + 2xu(-sin(t))

Passo 6

Finalmente, substituímos u = x+2y = sin(t)+2cos(t) e x=sin(t):
$$\frac{dv}{dt} = \cos(t)\ln\bigl(\sin(t)+2\cos(t)\bigr)
  • \frac{\sin(t)\cos(t) - 2\sin^2(t)}{\sin(t)+2\cos(t)},$$ que pode ser escrita de forma mais elegante como
$$\frac{dv}{dt} = \cos(t)\ln\bigl(\sin(t)+2\cos(t)\bigr)
  • \frac{\sin(t)\bigl(\cos(t)-2\sin(t)\bigr)}{\sin(t)+2\cos(t)}.$$

Resposta

dvdt = cos(t)lnl(sin(t)+2cos(t)r) + sin(t)l(cos(t)-2sin(t)r)sin(t)+2cos(t)

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