Use a Regra da Cadeia para determinar
:
, com
e
Passo 1
O enunciado pede para calcular
sendo
com
e
. Vamos usar derivadas parciais, a Regra da Cadeia para função de várias variáveis e a Regra do Produto.
Passo 2
Quando temos uma função
e tanto
quanto
dependem de
, a Regra da Cadeia diz:
Passo 3
Para calcular as derivadas parciais de
onde
, aplicamos Regra do Produto e Regra da Cadeia:
Passo 4
Como
e
, temos:
Passo 5
Substituindo tudo em
:
Passo 6
Finalmente, substituímos
e
:
$$\frac{dv}{dt} = \cos(t)\ln\bigl(\sin(t)+2\cos(t)\bigr)
- \frac{\sin(t)\cos(t) - 2\sin^2(t)}{\sin(t)+2\cos(t)},$$ que pode ser escrita de forma mais elegante como
$$\frac{dv}{dt} = \cos(t)\ln\bigl(\sin(t)+2\cos(t)\bigr)
- \frac{\sin(t)\bigl(\cos(t)-2\sin(t)\bigr)}{\sin(t)+2\cos(t)}.$$