Um ventilador centrifugo de saída radial produz uma pressão de saída de 1000 mm.c.a, com temperaturas de entrada e saída iguais, 310 K e rotação de 3000 rpm. A eficiência do motor elétrico acoplado ao ventilador é de
, enquanto do ventilador é
. Admita massa específica do ar,
. As medições de vazão mostraram que a máquina entrega
de ar. Sabendo que as componentes normais de velocidade na entrada e saída do rotor são 0,40 U2 e 0,20 U2, respectivamente, calcule:
a largura das pás na saída.
a largura das pás na saída.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um ventilador centrífugo que está produzindo uma certa pressão e tem algumas especificações como temperatura, rotação, eficiência, vazão e componentes de velocidade. A matéria envolvida aqui é a máquinas térmicas e fluidos, especificamente o funcionamento e dimensionamento de ventiladores centrífugos. Para resolver esse problema, vamos precisar aplicar conceitos de aerodinâmica, termodinâmica e mecânica dos fluidos, além de usar algumas fórmulas matemáticas para calcular a largura das pás na saída do ventilador.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que precisamos encontrar: a largura das pás na saída do ventilador centrífugo. Isso envolve determinar como as pás estão dimensionadas para converter a energia fornecida pelo motor elétrico em aumento de pressão no ar que está sendo movimentado.
Passo 3
Vamos começar identificando os dados fornecidos:
- Pressão de saída: 1000 mm.c.a (milímetros de coluna de água)
- Temperatura de entrada e saída: 310 K
- Rotação: 3000 rpm
- Eficiência do motor elétrico: 88%
- Eficiência do ventilador: 82%
- Massa específica do ar: 1,20 kg/m³
- Vazão de ar: 200 m³/min
- Componentes normais de velocidade na entrada (V₁n) = 0,40 U₂
- Componentes normais de velocidade na saída (V₂n) = 0,20 U₂
Passo 4
Primeiro, vamos converter a pressão de saída de mm.c.a para Pascal, que é a unidade mais comum no SI.
Sabemos que 1 mm.c.a ≈ 9,81 Pa, então:
Passo 5
Agora, vamos converter a vazão de ar de m³/min para m³/s, pois as unidades padrão do SI usam segundos.
Passo 6
Vamos calcular a velocidade média do ar na saída do ventilador. Sabemos que a vazão volumétrica (
) é igual à área da seção transversal (
) multiplicada pela velocidade média (
):
Queremos encontrar a largura das pás (
) na saída. Supondo que o ventilador tenha várias pás distribuídas uniformemente em torno do rotor, a área pode ser relacionada à circunferência da rota do fluxo de ar. No entanto, para simplificar, podemos relacionar a velocidade com a velocidade tangencial das pás.
Passo 7
A velocidade tangencial (
) das pás é relacionada à rotação (
) e ao raio (
) do ventilador:
Mas não temos o raio (
). Vamos considerar que a velocidade tangencial pode ser derivada a partir das componentes normais de velocidade fornecidas:
Essas relações nos ajudam a entender como a velocidade do fluido se relaciona com a velocidade das pás.
Passo 8
Para prosseguir, precisamos calcular a potência requerida pelo ventilador. A potência hidráulica (
) pode ser calculada usando a fórmula:
Onde:
-
é a vazão mássica -
é a variação de pressão -
é a eficiência
Primeiro, calculamos a vazão mássica:
Passo 9
Agora, calculamos a potência hidráulica:
Passo 10
A potência elétrica fornecida ao ventilador leva em consideração a eficiência do motor:
Passo 11
Agora, vamos relacionar a potência com a velocidade das pás para encontrar a largura das pás. A potência também pode ser expressa como:
Onde:
-
é o torque -
é a velocidade angular
Mas precisamos de uma relação mais direta com a largura das pás. Considerando a potência hidráulica e a área da seção das pás, podemos relacionar:
Já calculamos
, então podemos relacionar isso com a área das pás.
Passo 12
Vamos assumir que a largura das pás (
) está relacionada à área através da circunferência na saída:
Onde
é o diâmetro. Porém, sem o diâmetro, precisamos expressar em termos de velocidade.
Sabemos que:
E também:
Rearranjando para encontrar a largura:
No entanto, parece que precisamos de mais informações ou simplificações para encontrar
. Vamos considerar que a velocidade tangencial
está relacionada com a largura das pás e a velocidade do ar.
Passo 13
Sabendo que a componente normal da velocidade na saída é
, e a velocidade do ar pode ser relacionada com a vazão:
Assumindo que a área
é proporcional à largura das pás e ao diâmetro, podemos relacionar
com
.
Vamos rearranjar para encontrar
:
Substituindo os valores:
Resposta
A largura das pás na saída do ventilador é aproximadamente 1,46 metros.