Um ventilador possui três pás idênticas, cada uma modelada como uma barra fina de massa m e comprimento L, fixadas por uma das extremidades ao eixo de rotação. O ventilador é acionado por um motor, que fornece o torque necessário para manter sua velocidade angular constante \omega.
Considere I_{\text {pá }}=\frac{1}{3} m L^{2}á como o momento de inércia de cada pá em relação ao eixo, e ignore a massa do eixo e atritos.
Com base nessas informações, analise as afirmativas a seguir sobre o momento angular do ventilador.
(1) O momento angular total do ventilador é igual à soma dos momentos angulares das três pás.
(2) Se o motor passa a girar as pás com o dobro da velocidade angular, então o momento angular total também dobra.
(3) Cada pá possui o mesmo momento angular, pois todas têm o mesmo momento de inércia e giram com a mesma velocidade angular.
(4) Se uma das pás fosse removida, o momento angular total para a mesma \omega diminuiria para 2 / 3 do valor original.
(5) O sentido do vetor momento angular é perpendicular ao plano das pás, determinado pela regra da mão direita.
Assinale a alternativa correta:
(a) Apenas as afirmativas 1 e 2 estão corretas.
(b) Apenas as afirmativas 3, 4 e 5 estão corretas.
(c) Apenas as afirmativas 2 e 4 estão corretas.
(d) Apenas as afirmativas 1, 3 e 5 estão corretas.
(e) Todas as afirmativas estão corretas.

Passo 1

O enunciado descreve um ventilador com três pás idênticas, cada pá modelada como uma barra fina de massa m e comprimento L, presa por uma extremidade ao eixo. O motor mantém a velocidade angular constante \omega. É dada a informação
I_{\text{pá}}=\frac{1}{3}mL^{2},á
que é o momento de inércia de cada pá em relação ao eixo. Devemos analisar a veracidade das afirmativas (1) a (5) sobre o momento angular do ventilador e escolher a alternativa correta.
Informações relevantes dadas:
\text{três pás idênticas},\quad I_{\text{pá}}=\frac{1}{3}mL^{2},\quad \omega=\text{velocidade angular (constante)},\quad\text{ignorar massa do eixo e atritos.}êáêá
As perguntas pedem verificar cada uma das afirmativas (1)–(5) e, com isso, indicar qual alternativa (a)–(e) é correta.

Passo 2

Conceito-chave usado: para um corpo rígido girando em torno de um eixo fixo, o vetor momento angular \vec{L} é dado por
\vec{L}=I\,\vec{\omega},
onde I é o momento de inércia em relação ao eixo e \vec{\omega} é o vetor velocidade angular (magnitude \omega e direção ao longo do eixo de rotação). Explicando as variáveis:
  • I é a medida de quanto a massa está distribuída em torno do eixo; para massas pontuais I=\sum m_i r_i^2, e para corpos contínuos existem fórmulas específicas (a do enunciado já deu I_{\text{pá}}á).
  • \vec{\omega} aponta ao longo do eixo de rotação, com sentido determinado pela regra da mão direita; sua magnitude é \omega.
Aplicando ao ventilador: cada pá, ao girar com \vec{\omega}, tem momento angular
\vec{L}_{\text{pá}}=I_{\text{pá}}\,\vec{\omega}.áá

Passo 3

Calcular o momento de inércia total do conjunto de três pás (e portanto o momento angular total quando necessário). Como as pás são idênticas e suas massas não interagem de forma a alterar o eixo, os momentos de inércia somam:
I_{\text{total}}=3\,I_{\text{pá}}=3\cdot\frac{1}{3}mL^{2}=mL^{2}.á
Logo, o momento angular total do ventilador é
\vec{L}_{\text{total}}=I_{\text{total}}\,\vec{\omega}=mL^{2}\,\vec{\omega}.

Passo 4

Verificação da afirmativa (1): “O momento angular total do ventilador é igual à soma dos momentos angulares das três pás.”
Justificativa: momento angular é uma grandeza vetorial e, se cada pá tem momento angular \vec{L}_{\text{pá}}=I_{\text{pá}}\vec{\omega}áá, então o total é
\vec{L}_{\text{total}}=\vec{L}_{1}+\vec{L}_{2}+\vec{L}_{3}=3\,I_{\text{pá}}\,\vec{\omega},á
que coincide com I_{\text{total}}\vec{\omega} calculado no passo anterior. Como todas apontam na mesma direção (mesmo eixo) a soma vetorial reduz-se à soma escalar dos módulos. Portanto a afirmativa (1) é correta.

Passo 5

Verificação da afirmativa (2): “Se o motor passa a girar as pás com o dobro da velocidade angular, então o momento angular total também dobra.”
Justificativa: da relação linear \vec{L}_{\text{total}}=I_{\text{total}}\vec{\omega}, se \vec{\omega} vira 2\vec{\omega} então
\vec{L}'_{\text{total}}=I_{\text{total}}(2\vec{\omega})=2(I_{\text{total}}\vec{\omega})=2\vec{L}_{\text{total}}.
Portanto dobrar \omega dobra \vec{L}_{\text{total}}. A afirmativa (2) é correta.

Passo 6

Verificação da afirmativa (3): “Cada pá possui o mesmo momento angular, pois todas têm o mesmo momento de inércia e giram com a mesma velocidade angular.”
Justificativa: cada pá tem momento angular
\vec{L}_{\text{pá}}=I_{\text{pá}}\,\vec{\omega}=\frac{1}{3}mL^{2}\,\vec{\omega}.áá
Como I_{\text{pá}}á e \vec{\omega} são iguais para todas as pás, os vetores \vec{L}_{\text{pá}}á têm o mesmo módulo e direção. Logo a afirmativa (3) é correta.

Passo 7

Verificação da afirmativa (4): “Se uma das pás fosse removida, o momento angular total para a mesma \omega diminuiria para 2/3 do valor original.”
Justificativa: com 3 pás o momento de inércia total era I_{\text{total}}=3I_{\text{pá}}=mL^{2}á. Se uma pá é removida, o novo momento de inércia é
I'_{\text{total}}=2I_{\text{pá}}=2\cdot\frac{1}{3}mL^{2}=\frac{2}{3}mL^{2}.á
Para a mesma \vec{\omega}, o novo momento angular é
\vec{L}'_{\text{total}}=I'_{\text{total}}\,\vec{\omega}=\frac{2}{3}mL^{2}\,\vec{\omega}=\frac{2}{3}\bigl(mL^{2}\,\vec{\omega}\bigr)=\frac{2}{3}\vec{L}_{\text{total}}.
Portanto a afirmativa (4) é correta.

Passo 8

Verificação da afirmativa (5): “O sentido do vetor momento angular é perpendicular ao plano das pás, determinado pela regra da mão direita.”
Justificativa: o vetor velocidade angular \vec{\omega} aponta ao longo do eixo de rotação (perpendicular ao plano em que as pás giram), com o sentido dado pela regra da mão direita: se os dedos seguem o sentido da rotação, o polegar indica o sentido de \vec{\omega}. Como \vec{L}=I\vec{\omega}, \vec{L} tem a mesma direção e sentido de \vec{\omega}. Logo \vec{L} é perpendicular ao plano das pás e sua orientação é dada pela regra da mão direita. Afirmativa (5) correta.

Passo 9

Conclusão: todas as afirmativas (1), (2), (3), (4) e (5) são corretas, portanto a alternativa correta é a (e).

Resposta

(e)

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