Um ventilador possui três pás idênticas, cada uma modelada como uma barra fina de massa
e comprimento
, fixadas por uma das extremidades ao eixo de rotação. O ventilador é acionado por um motor, que fornece o torque necessário para manter sua velocidade angular constante
.
Considere
como o momento de inércia de cada pá em relação ao eixo, e ignore a massa do eixo e atritos.
Com base nessas informações, analise as afirmativas a seguir sobre o momento angular do ventilador.
(1) O momento angular total do ventilador é igual à soma dos momentos angulares das três pás.
(2) Se o motor passa a girar as pás com o dobro da velocidade angular, então o momento angular total também dobra.
(3) Cada pá possui o mesmo momento angular, pois todas têm o mesmo momento de inércia e giram com a mesma velocidade angular.
(4) Se uma das pás fosse removida, o momento angular total para a mesma
diminuiria para
do valor original.
(5) O sentido do vetor momento angular é perpendicular ao plano das pás, determinado pela regra da mão direita.
Assinale a alternativa correta:
(a) Apenas as afirmativas 1 e 2 estão corretas.
(b) Apenas as afirmativas 3, 4 e 5 estão corretas.
(c) Apenas as afirmativas 2 e 4 estão corretas.
(d) Apenas as afirmativas 1, 3 e 5 estão corretas.
(e) Todas as afirmativas estão corretas.
Considere
Com base nessas informações, analise as afirmativas a seguir sobre o momento angular do ventilador.
(1) O momento angular total do ventilador é igual à soma dos momentos angulares das três pás.
(2) Se o motor passa a girar as pás com o dobro da velocidade angular, então o momento angular total também dobra.
(3) Cada pá possui o mesmo momento angular, pois todas têm o mesmo momento de inércia e giram com a mesma velocidade angular.
(4) Se uma das pás fosse removida, o momento angular total para a mesma
(5) O sentido do vetor momento angular é perpendicular ao plano das pás, determinado pela regra da mão direita.
Assinale a alternativa correta:
(a) Apenas as afirmativas 1 e 2 estão corretas.
(b) Apenas as afirmativas 3, 4 e 5 estão corretas.
(c) Apenas as afirmativas 2 e 4 estão corretas.
(d) Apenas as afirmativas 1, 3 e 5 estão corretas.
(e) Todas as afirmativas estão corretas.
Passo 1
O enunciado descreve um ventilador com três pás idênticas, cada pá modelada como uma barra fina de massa
e comprimento
, presa por uma extremidade ao eixo. O motor mantém a velocidade angular constante
. É dada a informação
que é o momento de inércia de cada pá em relação ao eixo. Devemos analisar a veracidade das afirmativas (1) a (5) sobre o momento angular do ventilador e escolher a alternativa correta.
Informações relevantes dadas:
As perguntas pedem verificar cada uma das afirmativas (1)–(5) e, com isso, indicar qual alternativa (a)–(e) é correta.
Passo 2
Conceito-chave usado: para um corpo rígido girando em torno de um eixo fixo, o vetor momento angular
é dado por
onde
é o momento de inércia em relação ao eixo e
é o vetor velocidade angular (magnitude
e direção ao longo do eixo de rotação). Explicando as variáveis:
-
é a medida de quanto a massa está distribuída em torno do eixo; para massas pontuais , e para corpos contínuos existem fórmulas específicas (a do enunciado já deu ). -
aponta ao longo do eixo de rotação, com sentido determinado pela regra da mão direita; sua magnitude é .
Aplicando ao ventilador: cada pá, ao girar com
, tem momento angular
Passo 3
Calcular o momento de inércia total do conjunto de três pás (e portanto o momento angular total quando necessário). Como as pás são idênticas e suas massas não interagem de forma a alterar o eixo, os momentos de inércia somam:
Logo, o momento angular total do ventilador é
Passo 4
Verificação da afirmativa (1): “O momento angular total do ventilador é igual à soma dos momentos angulares das três pás.”
Justificativa: momento angular é uma grandeza vetorial e, se cada pá tem momento angular
, então o total é
que coincide com
calculado no passo anterior. Como todas apontam na mesma direção (mesmo eixo) a soma vetorial reduz-se à soma escalar dos módulos. Portanto a afirmativa (1) é correta.
Passo 5
Verificação da afirmativa (2): “Se o motor passa a girar as pás com o dobro da velocidade angular, então o momento angular total também dobra.”
Justificativa: da relação linear
, se
vira
então
Portanto dobrar
dobra
. A afirmativa (2) é correta.
Passo 6
Verificação da afirmativa (3): “Cada pá possui o mesmo momento angular, pois todas têm o mesmo momento de inércia e giram com a mesma velocidade angular.”
Justificativa: cada pá tem momento angular
Como
e
são iguais para todas as pás, os vetores
têm o mesmo módulo e direção. Logo a afirmativa (3) é correta.
Passo 7
Verificação da afirmativa (4): “Se uma das pás fosse removida, o momento angular total para a mesma
diminuiria para
do valor original.”
Justificativa: com 3 pás o momento de inércia total era
. Se uma pá é removida, o novo momento de inércia é
Para a mesma
, o novo momento angular é
Portanto a afirmativa (4) é correta.
Passo 8
Verificação da afirmativa (5): “O sentido do vetor momento angular é perpendicular ao plano das pás, determinado pela regra da mão direita.”
Justificativa: o vetor velocidade angular
aponta ao longo do eixo de rotação (perpendicular ao plano em que as pás giram), com o sentido dado pela regra da mão direita: se os dedos seguem o sentido da rotação, o polegar indica o sentido de
. Como
,
tem a mesma direção e sentido de
. Logo
é perpendicular ao plano das pás e sua orientação é dada pela regra da mão direita. Afirmativa (5) correta.
Passo 9
Conclusão: todas as afirmativas (1), (2), (3), (4) e (5) são corretas, portanto a alternativa correta é a (e).
Resposta
(e)