Se

e se

é verdade que f(x)=<=ftbeginarrayccc x^2 & text se & x <= 0 2 x+x^2 & text se & x>0 endarrayight ? Por quê?

Passo 1

A questão quer saber se duas funções definidas a pedaços, f(x) e g(u), são iguais. O conteúdo envolve entender que nome de variável é só um rótulo e que igualar funções significa conferir domínio e regra de atribuição.

Passo 2

Ambas as funções têm domínio ℝ e estão definidas por: para valores não positivos usam a regra quadrática e para positivos a regra 2·variável + quadrado da variável. O nome do argumento (x ou u) não altera a regra.

Passo 3

Para x≤0 temos f(x)=x². Para u≤0 temos g(u)=u². Como podemos substituir u por x sem mudar nada, f(x)=x²=g(x) nessa parte do domínio.

Passo 4

Para x>0 temos f(x)=2x+x². Analogamente g(u)=2u+u² para u>0, e trocando u por x fica g(x)=2x+x²=f(x) para toda x>0.

Passo 5

No ponto x=0 verificamos f(0)=0²=0 e g(0)=0²=0, sem discrepância na fronteira. Assim, para todo real t vale f(t)=g(t), logo as funções são iguais.

Resposta

Sim. As duas funções coincidem em todo ponto de ℝ, pois possuem mesmas regras em x≤0 e x>0; o nome do parâmetro não altera a igualdade das funções (princípio extensional).

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