Se
e se
é verdade que
? Por quê?
e se
é verdade que
Passo 1
A questão quer saber se duas funções definidas a pedaços, f(x) e g(u), são iguais. O conteúdo envolve entender que nome de variável é só um rótulo e que igualar funções significa conferir domínio e regra de atribuição.
Passo 2
Ambas as funções têm domínio ℝ e estão definidas por: para valores não positivos usam a regra quadrática e para positivos a regra 2·variável + quadrado da variável. O nome do argumento (x ou u) não altera a regra.
Passo 3
Para x≤0 temos f(x)=x². Para u≤0 temos g(u)=u². Como podemos substituir u por x sem mudar nada, f(x)=x²=g(x) nessa parte do domínio.
Passo 4
Para x>0 temos f(x)=2x+x². Analogamente g(u)=2u+u² para u>0, e trocando u por x fica g(x)=2x+x²=f(x) para toda x>0.
Passo 5
No ponto x=0 verificamos f(0)=0²=0 e g(0)=0²=0, sem discrepância na fronteira. Assim, para todo real t vale f(t)=g(t), logo as funções são iguais.
Resposta
Sim. As duas funções coincidem em todo ponto de ℝ, pois possuem mesmas regras em x≤0 e x>0; o nome do parâmetro não altera a igualdade das funções (princípio extensional).