Se H e K são subgrupos normais de um grupo G, mostre que H K também é um subgrupo normai de G. [Dica: use a Proposição 3.18 e note que, para g e G e hk £ H K , ghkg~l = (ghg~J) • (gkg*1)],

Passo 1

O enunciado dá que H e K são subgrupos normais de um grupo G. Precisa-se mostrar que o conjunto produto
HK=\{hk \mid h\in H,\\ k\in K\}
é um subgrupo normal de G. Ou seja, dois objetivos claros:
  • provar que HK é um subgrupo de G;
  • provar que HK é normal em G (isto é, g(HK)g^{-1}=HK para todo g\in G).

Passo 2

Lembrando definições úteis (explicadas com calma):
  • Um subgrupo L de G é um subconjunto não vazio fechado sob produto e inverso: se x,y\in L então xy\in L e x^{-1}\in L.
  • Um subgrupo N é normal em G se para todo g\in G vale gNg^{-1}=N. Uma forma prática: gng^{-1}\in N para todo n\in N,\\ g\in G.
  • A Proposição 3.18 (que vamos usar) afirma: para subgrupos A,B de G, o produto AB é subgrupo de G se e somente se AB=BA. Ou seja, se os produtos à esquerda e à direita coincidem.

Passo 3

Mostrar que HK=KH. Essa igualdade é a chave porque, pela Proposição 3.18, garante que HK é subgrupo. Pegue h\in H e k\in K. Escreva
hk = (hkh^{-1})\,h.
Agora use a normalidade de K: como K é normal, hkh^{-1}\in K. Assim (hkh^{-1})\in K e h\in H, logo (hkh^{-1})\,h \in KH. Portanto hk\in KH. Como isso vale para qualquer h\in H e k\in K, segue \,HK\subseteq KH.
De modo análogo, para k\in K e h\in H,
kh = (khk^{-1})\,k,
e como H é normal, khk^{-1}\in H. Assim kh\in HK, o que dá KH\subseteq HK.
Com as duas inclusões obtemos
HK=KH.

Passo 4

Aplicar a Proposição 3.18. Pela igualdade HK=KH e pela Proposição 3.18, conclui-se que HK é um subgrupo de G. Aqui não foi necessário verificar diretamente fechamento e inversos: a proposição já nos dá essa conclusão a partir da comutatividade do conjunto-produto.

Passo 5

Mostrar diretamente (alternativamente) a fechadura e o inverso — explicando a técnica usada nas provas-padrão — para fixar a ideia. Seja x=h_1k_1 e y=h_2k_2 em HK. Então
xy = h_1k_1 h_2 k_2 = h_1 (k_1 h_2 k_1^{-1}) (k_1 k_2).
Como H é normal, k_1 h_2 k_1^{-1}\in H. Logo o produto é de um elemento de H por um elemento de K, isto é, xy\in HK. Para inversos, tome x=h k\in HK. Então
x^{-1} = (hk)^{-1} = k^{-1} h^{-1} = (k^{-1} h^{-1} k)\, k^{-1},
e como H é normal tem-se k^{-1} h^{-1} k\in H, logo x^{-1}\in HK. Assim HK fecha em produto e inverso — consistência com o passo anterior.

Passo 6

Provar normalidade de HK. Seja g\in G e considere um elemento genérico hk\in HK. Faça a conjugação:
g(hk)g^{-1} = (g h g^{-1})\,(g k g^{-1}).
Como H e K são normais, g h g^{-1}\in H e g k g^{-1}\in K. Portanto o produto (g h g^{-1})(g k g^{-1}) pertence a HK. Assim g(hk)g^{-1}\in HK para todo h\in H,\\ k\in K. Isso mostra g(HK)g^{-1}\subseteq HK para todo g\in G.

Passo 7

Obter a igualdade g(HK)g^{-1}=HK. A inclusão obtida no passo anterior vale para todo g. Aplicando a mesma inclusão com g^{-1} no lugar de g obtemos g^{-1}(HK)g\subseteq HK, o que implica, ao conjugar por g, que HK\subseteq g(HK)g^{-1}. Juntando as duas inclusões conclui-se g(HK)g^{-1}=HK. Portanto HK é normal em G.

Passo 8

Resumo final do raciocínio (para levar para a prova): a normalidade de H e K garante HK=KH (passo 3); pela Proposição 3.18 isso já garante que HK é subgrupo; além disso, a conjugação de um elemento genérico de HK se separa em um produto de conjugados em H e em K, que permanecem em H e em K pela normalidade, portanto HK é fechado por conjugação e assim normal.

Resposta

HK é um subgrupo normal de G.

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