Se H e K são subgrupos normais de um grupo G, mostre que H K também é um subgrupo normai de G. [Dica: use a Proposição 3.18 e note que, para g e G e hk £ H K , ghkg~l = (ghg~J) • (gkg*1)],
Passo 1
O enunciado dá que
e
são subgrupos normais de um grupo
. Precisa-se mostrar que o conjunto produto
é um subgrupo normal de
. Ou seja, dois objetivos claros:
- provar que
é um subgrupo de ; - provar que
é normal em (isto é, para todo ).
Passo 2
Lembrando definições úteis (explicadas com calma):
- Um subgrupo
de é um subconjunto não vazio fechado sob produto e inverso: se então e . - Um subgrupo
é normal em se para todo vale . Uma forma prática: para todo . - A Proposição 3.18 (que vamos usar) afirma: para subgrupos
de , o produto é subgrupo de se e somente se . Ou seja, se os produtos à esquerda e à direita coincidem.
Passo 3
Mostrar que
. Essa igualdade é a chave porque, pela Proposição 3.18, garante que
é subgrupo. Pegue
e
. Escreva
Agora use a normalidade de
: como
é normal,
. Assim
e
, logo
. Portanto
. Como isso vale para qualquer
e
, segue
.
De modo análogo, para
e
,
e como
é normal,
. Assim
, o que dá
.
Com as duas inclusões obtemos
Passo 4
Aplicar a Proposição 3.18. Pela igualdade
e pela Proposição 3.18, conclui-se que
é um subgrupo de
. Aqui não foi necessário verificar diretamente fechamento e inversos: a proposição já nos dá essa conclusão a partir da comutatividade do conjunto-produto.
Passo 5
Mostrar diretamente (alternativamente) a fechadura e o inverso — explicando a técnica usada nas provas-padrão — para fixar a ideia. Seja
e
em
. Então
Como
é normal,
. Logo o produto é de um elemento de
por um elemento de
, isto é,
. Para inversos, tome
. Então
e como
é normal tem-se
, logo
. Assim
fecha em produto e inverso — consistência com o passo anterior.
Passo 6
Provar normalidade de
. Seja
e considere um elemento genérico
. Faça a conjugação:
Como
e
são normais,
e
. Portanto o produto
pertence a
. Assim
para todo
. Isso mostra
para todo
.
Passo 7
Obter a igualdade
. A inclusão obtida no passo anterior vale para todo
. Aplicando a mesma inclusão com
no lugar de
obtemos
, o que implica, ao conjugar por
, que
. Juntando as duas inclusões conclui-se
. Portanto
é normal em
.
Passo 8
Resumo final do raciocínio (para levar para a prova): a normalidade de
e
garante
(passo 3); pela Proposição 3.18 isso já garante que
é subgrupo; além disso, a conjugação de um elemento genérico de
se separa em um produto de conjugados em
e em
, que permanecem em
e em
pela normalidade, portanto
é fechado por conjugação e assim normal.