Mostre através de um exemplo que, se H e K são subgrupos de um grupo G, K precisa ser um subgrupo normal de G para que HK seja um subgrupo de G?

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • Dado: H e K são subgrupos de um grupo G.
  • Pedido: mostrar, por meio de um exemplo concreto, que se K não for subgrupo normal de G então HK pode não ser subgrupo de G. Em outras palavras, construir um caso em que K não é normal e em que a soma (produto) HK falha em ser subgrupo.
  • O que vou produzir: um exemplo explícito de G,H,K com K não normal e tal que HK não seja subgrupo de G.

Passo 2

Escolher o grupo e os subgrupos. Vou usar o grupo simétrico de três letras, que é pequeno e fácil de trabalhar. Definir:
G = S_{3}=\{e,\;(12),\;(13),\;(23),\;(123),\;(132)\}.
Tomar os subgrupos de ordem 2
H=\{e,\;(12)\},\qquad K=\{e,\;(13)\}.
Explicação rápida por que H e K são subgrupos: todo conjunto formado por \{e,\sigma\} com \sigma de ordem 2 é subgrupo, pois contém a identidade e, o inverso de \sigma é \sigma mesmo, e a multiplicação fecha (já que \sigma\cdot\sigma=e). Logo H e K são subgrupos de G.

Passo 3

Mostrar que K não é normal em G.
Definição usada: K é normal em G se para todo \tau\in G vale \tau K\tau^{-1}=K. Basta encontrar \tau\in G tal que \tau(13)\tau^{-1}\notin K. Escolher \tau=(12). Usar a regra de conjugação de transposições:
(12)\,(13)\,(12) = \big((12)(1)\; (12)(3)\big) = (2\;3)=(23).
Como (23)\notin K=\{e,(13)\}, segue que (12)K(12)^{-1}\neq K. Portanto K não é normal em G.

Passo 4

Calcular explicitamente o conjunto HK. Por definição
HK=\{hk \mid h\in H,\\ k\in K\}.
Listar as combinações possíveis (lembre: ao compor permutações usa-se a convenção padrão ― aplicar a permutação da direita primeiro):
  • e\cdot e = e.
  • e\cdot(13)=(13).
  • (12)\cdot e=(12).
  • (12)\cdot(13)=(12)(13).
Calcular (12)(13) agindo nos elementos 1,2,3: aplicar primeiro (13), depois (12).
\begin{aligned} 1 &\xrightarrow{(13)} 3 \xrightarrow{(12)} 3,\\\\ 2 &\xrightarrow{(13)} 2 \xrightarrow{(12)} 1,\\\\ 3 &\xrightarrow{(13)} 1 \xrightarrow{(12)} 2. \end{aligned}
Isso dá a permutação 1\mapsto3\mapsto2\mapsto1, ou seja (12)(13)=(132). Assim
HK=\{e,\;(13),\;(12),\;(132)\}.
Portanto |HK|=4.

Passo 5

Mostrar que HK não é subgrupo de G. Uso de Lagrange (teorema simples e útil): em um grupo finito, a ordem de qualquer subgrupo divide a ordem do grupo. Aqui |G|=6. Se HK fosse subgrupo de G, então |HK| deveria dividir 6. Mas |HK|=4 e 4 não divide 6. Logo HK não pode ser subgrupo de G.
Observação alternativa (opcional): também se pode verificar diretamente que HK não é fechado sob produto em alguns casos — por exemplo calcular produtos entre elementos e ver que algum produto sai do conjunto — mas a conta com Lagrange é mais curta e definitiva neste exemplo.

Passo 6

Conclusão didática e comentário final. O exemplo construiu G=S_3, H=\{e,(12)\} e K=\{e,(13)\} com K não normal e mostrou que HK tem 4 elementos e, portanto, não é subgrupo de G. Isso ilustra que, sem a normalidade de K, o produto HK pode falhar em ser subgrupo. (Para consolidar: existe um resultado geral — se K é normal então HK é sempre subgrupo; o contraexemplo acima mostra que a normalidade é uma hipótese natural, pois sem ela a conclusão pode deixar de valer.)

Resposta

Escolha G=S_{3}, H=\{e,(12)\} e K=\{e,(13)\}. Aqui K não é normal (pois (12)(13)(12)=(23)\notin K) e
HK=\{e,(13),(12),(132)\},
tem |HK|=4, que não divide |G|=6; portanto HK não é subgrupo de G.

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