Mostre através de um exemplo que, se H e K são subgrupos de um grupo G, K precisa ser um subgrupo normal de G para que HK seja um subgrupo de G?
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado.
Dado: H e K são subgrupos de um grupo G.
Pedido: mostrar, por meio de um exemplo concreto, que se K não for subgrupo normal de G então HK pode não ser subgrupo de G. Em outras palavras, construir um caso em que K não é normal e em que a soma (produto) HK falha em ser subgrupo.
O que vou produzir: um exemplo explícito de G,H,K com K não normal e tal que HK não seja subgrupo de G.
Passo 2
Escolher o grupo e os subgrupos. Vou usar o grupo simétrico de três letras, que é pequeno e fácil de trabalhar. Definir:
G = S_{3}=\{e,\;(12),\;(13),\;(23),\;(123),\;(132)\}.
Tomar os subgrupos de ordem 2
H=\{e,\;(12)\},\qquad K=\{e,\;(13)\}.
Explicação rápida por que H e K são subgrupos: todo conjunto formado por \{e,\sigma\} com \sigma de ordem 2 é subgrupo, pois contém a identidade e, o inverso de \sigma é \sigma mesmo, e a multiplicação fecha (já que \sigma\cdot\sigma=e). Logo H e K são subgrupos de G.
Passo 3
Mostrar que K não é normal em G.
Definição usada: K é normal em G se para todo \tau\in G vale \tau K\tau^{-1}=K. Basta encontrar \tau\in G tal que \tau(13)\tau^{-1}\notin K. Escolher \tau=(12). Usar a regra de conjugação de transposições:
Isso dá a permutação 1\mapsto3\mapsto2\mapsto1, ou seja (12)(13)=(132). Assim
HK=\{e,\;(13),\;(12),\;(132)\}.
Portanto |HK|=4.
Passo 5
Mostrar que HK não é subgrupo de G. Uso de Lagrange (teorema simples e útil): em um grupo finito, a ordem de qualquer subgrupo divide a ordem do grupo. Aqui |G|=6. Se HK fosse subgrupo de G, então |HK| deveria dividir 6. Mas |HK|=4 e 4 não divide 6. Logo HK não pode ser subgrupo de G.
Observação alternativa (opcional): também se pode verificar diretamente que HK não é fechado sob produto em alguns casos — por exemplo calcular produtos entre elementos e ver que algum produto sai do conjunto — mas a conta com Lagrange é mais curta e definitiva neste exemplo.
Passo 6
Conclusão didática e comentário final. O exemplo construiu G=S_3, H=\{e,(12)\} e K=\{e,(13)\} com K não normal e mostrou que HK tem 4 elementos e, portanto, não é subgrupo de G. Isso ilustra que, sem a normalidade de K, o produto HK pode falhar em ser subgrupo. (Para consolidar: existe um resultado geral — se K é normal então HK é sempre subgrupo; o contraexemplo acima mostra que a normalidade é uma hipótese natural, pois sem ela a conclusão pode deixar de valer.)
Resposta
Escolha G=S_{3}, H=\{e,(12)\} e K=\{e,(13)\}. Aqui K não é normal (pois (12)(13)(12)=(23)\notin K) e
HK=\{e,(13),(12),(132)\},
tem |HK|=4, que não divide |G|=6; portanto HK não é subgrupo de G.