É verdade que o resultado do limite de \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen} 5 x}{\operatorname{sen} 8 x}=\frac{5}{8}

Passo 1

O enunciado pede para verificar o valor do limite
\lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{\sin(8x)}
O conteúdo envolvido é o limite fundamental
\lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{u} = 1,
que vamos usar para reescrever a expressão de forma a aplicá-lo.

Passo 2

Reescrevemos a fração extraindo fatores de x:
\frac{\sin(5x)}{\sin(8x)} =\frac{\sin(5x)}{5x}\,\frac{5x}{8x}\,\frac{8x}{\sin(8x)}.
Note que \tfrac{5x}{8x}=\tfrac{5}{8} e restam dois termos do tipo \tfrac{\sin(u)}{u} ou seu inverso.

Passo 3

Aplicando o limite em cada fator, usando \lim_{x\to0}\tfrac{\sin(5x)}{5x}=1
e \lim_{x\to0}\tfrac{8x}{\sin(8x)}=1,
temos
\lim_{x \to 0}\frac{\sin(5x)}{\sin(8x)} =1 \times \frac{5}{8} \times 1 =\frac{5}{8}.

Resposta

Sim. O valor do limite é \tfrac{5}{8}.

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