- Verdadeiro ou Falso:
(b) A medida angular entre dois vetores não nulos e ortogonais é
radianos.
Passo 1
O enunciado dá:
- Dois vetores não nulos e ortogonais (ou seja, são perpendiculares).
- A afirmação a avaliar: “A medida angular entre esses dois vetores é
radianos.”
A tarefa é decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa.
Passo 2
Definição precisa da medida angular entre dois vetores não nulos.
Sejam e
vetores não nulos. O ângulo
entre eles é definido pela relação do produto escalar:
Sejam
Explicando cada símbolo:
-
é o produto escalar (dot product) entre e . -
é a norma (comprimento) do vetor . -
é escolhido no intervalo , ou seja, a função retorna valores entre e .
Passo 3
O que significa “ortogonais”.
Dois vetores e
são ortogonais se, e somente se,
Dois vetores
Como
e
são não nulos, temos
e
, então a fórmula do passo anterior está bem definida (não divide por zero).
Passo 4
Substituindo a condição de ortogonalidade na definição do ângulo.
Se , então
Se
Portanto
Passo 5
Avaliar
.
Sabe-se que e, como
retorna o valor principal em
, tem-se
Sabe-se que
Logo o ângulo
entre
e
vale
radianos.
Passo 6
Exemplo concreto para fixar (modo “test drive”).
Em , tome
e
. Então
Em
Então
e
. Funciona do mesmo jeito em qualquer dimensão.
Resposta
Verdadeiro.