1. Verdadeiro ou Falso:
(b) A medida angular entre dois vetores não nulos e ortogonais é \frac{\pi}{2} radianos.

Passo 1

O enunciado dá:
  • Dois vetores não nulos e ortogonais (ou seja, são perpendiculares).
  • A afirmação a avaliar: “A medida angular entre esses dois vetores é \frac{\pi}{2} radianos.”
    A tarefa é decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa.

Passo 2

Definição precisa da medida angular entre dois vetores não nulos.
Sejam \mathbf{u} e \mathbf{v} vetores não nulos. O ângulo \theta entre eles é definido pela relação do produto escalar:
\cos\theta=\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|}.
Explicando cada símbolo:
  • \mathbf{u}\cdot\mathbf{v} é o produto escalar (dot product) entre \mathbf{u} e \mathbf{v}.
  • \|\mathbf{u}\| é a norma (comprimento) do vetor \mathbf{u}.
  • \theta é escolhido no intervalo [0,\pi], ou seja, a função \operatorname{arccos} retorna valores entre 0 e \pi.

Passo 3

O que significa “ortogonais”.
Dois vetores \mathbf{u} e \mathbf{v} são ortogonais se, e somente se,
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=0.
Como \mathbf{u} e \mathbf{v} são não nulos, temos \|\mathbf{u}\|>0 e \|\mathbf{v}\|>0, então a fórmula do passo anterior está bem definida (não divide por zero).

Passo 4

Substituindo a condição de ortogonalidade na definição do ângulo.
Se \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=0, então
\cos\theta=\frac{0}{\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|}=0.
Portanto
\theta=\operatorname{arccos}(0).

Passo 5

Avaliar \operatorname{arccos}(0).
Sabe-se que \cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0 e, como \operatorname{arccos} retorna o valor principal em [0,\pi], tem-se
\operatorname{arccos}(0)=\frac{\pi}{2}.
Logo o ângulo \theta entre \mathbf{u} e \mathbf{v} vale \frac{\pi}{2} radianos.

Passo 6

Exemplo concreto para fixar (modo “test drive”).
Em \mathbb{R}^2, tome \mathbf{u}=(1,0) e \mathbf{v}=(0,1). Então
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=1\cdot0+0\cdot1=0, \qquad \|\mathbf{u}\|=\|\mathbf{v}\|=1.
Então \cos\theta=0 e \theta=\frac{\pi}{2}. Funciona do mesmo jeito em qualquer dimensão.

Resposta

Verdadeiro.

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