1. Verdadeiro ou Falso:
(a) A medida angular entre um vetor não nulo e ele mesmos é 0 radianos.

Passo 1

O enunciado pergunta se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa:
(a) A medida angular entre um vetor não nulo e ele mesmo é 0 radianos.
Informações dadas:
  • Há um vetor não nulo (chamo-o de \mathbf{u}).
  • A comparação é entre o vetor \mathbf{u} e ele próprio \mathbf{u}.
  • Precisa-se decidir se o ângulo entre eles vale 0 radianos.

Passo 2

Definição e fórmula que vamos usar (tema central): para dois vetores não nulos \mathbf{u} e \mathbf{v} em \mathbb{R}^n, a medida do ângulo \theta entre eles é definida por
\cos\theta=\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|},
onde:
  • \mathbf{u}\cdot\mathbf{v} é o produto escalar, que em coordenadas é \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=\sum_{i=1}^{n}u_i v_i.
  • \|\mathbf{u}\| é a norma (comprimento) do vetor, definida por \|\mathbf{u}\|=\sqrt{\mathbf{u}\cdot\mathbf{u}}=\sqrt{\sum_{i=1}^n u_i^2}.
    Também é importante lembrar que, por construção, \theta é tomado no intervalo [0,\pi] (ângulos entre vetores variam de 0 a \pi radianos).

Passo 3

Aplicando a fórmula ao caso \mathbf{v}=\mathbf{u}. Como o vetor é não nulo, \|\mathbf{u}\|>0. Calcula-se:
\mathbf{u}\cdot\mathbf{u}=\|\mathbf{u}\|^2.
Substituindo na definição do cosseno,
\cos\theta=\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{u}}{\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{u}\|} =\frac{\|\mathbf{u}\|^2}{\|\mathbf{u}\|^2}=1.
Como \theta\in[0,\pi] e \cos\theta=1, a única solução é \theta=0 (em radianos).

Passo 4

Interpretação geométrica e exemplo numérico para fixar:
  • Geometricamente, o ângulo entre um vetor e ele mesmo deve ser zero porque não há rotação necessária para alinhar \mathbf{u} com \mathbf{u}.
  • Exemplo: seja \mathbf{u}=(1,2). Então \mathbf{u}\cdot\mathbf{u}=1+4=5 e \|\mathbf{u}\|=\sqrt{5}. Logo \cos\theta=5/(\sqrt{5}\sqrt{5})=1, portanto \theta=0.
Observação útil: se o vetor fosse o vetor zero, a fórmula não é aplicável (divisão por zero) e o ângulo fica indefinido — mas o enunciado já especificou vetor não nulo, então não há problema.

Passo 5

Conclusão final lógica: a aplicação direta da definição do ângulo por produto escalar leva a \cos\theta=1 e portanto \theta=0. Isso confirma a afirmação do enunciado.

Resposta

Verdadeiro

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