- Verdadeiro ou Falso:
(a) A medida angular entre um vetor não nulo e ele mesmos é 0 radianos.
Passo 1
O enunciado pergunta se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa:
(a) A medida angular entre um vetor não nulo e ele mesmo é
radianos.
Informações dadas:
- Há um vetor não nulo (chamo-o de
). - A comparação é entre o vetor
e ele próprio . - Precisa-se decidir se o ângulo entre eles vale
radianos.
Passo 2
Definição e fórmula que vamos usar (tema central): para dois vetores não nulos
e
em
, a medida do ângulo
entre eles é definida por
onde:
-
é o produto escalar, que em coordenadas é . -
é a norma (comprimento) do vetor, definida por .
Também é importante lembrar que, por construção,é tomado no intervalo (ângulos entre vetores variam de a radianos).
Passo 3
Aplicando a fórmula ao caso
. Como o vetor é não nulo,
. Calcula-se:
Substituindo na definição do cosseno,
Como
e
, a única solução é
(em radianos).
Passo 4
Interpretação geométrica e exemplo numérico para fixar:
- Geometricamente, o ângulo entre um vetor e ele mesmo deve ser zero porque não há rotação necessária para alinhar
com . - Exemplo: seja
. Então e . Logo , portanto .
Observação útil: se o vetor fosse o vetor zero, a fórmula não é aplicável (divisão por zero) e o ângulo fica indefinido — mas o enunciado já especificou vetor não nulo, então não há problema.
Passo 5
Conclusão final lógica: a aplicação direta da definição do ângulo por produto escalar leva a
e portanto
. Isso confirma a afirmação do enunciado.
Resposta
Verdadeiro