1. Verdadeiro ou Falso:
(c) A medida angular entres dois vetores de sentidos contrários é \pi radianos.

Passo 1

O enunciado pergunta se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa:
A medida angular entre dois vetores de sentidos contrários é \pi radianos.
Informações dadas (explicitadas):
  • Temos dois vetores cujos sentidos são contrários (ou seja, um é o oposto do outro).
  • A questão pede para decidir se a medida do ângulo entre esses vetores vale \pi radianos.

Passo 2

Definição e fórmula que vamos usar (a mais comum para medir ângulo entre vetores):
\cos\theta=\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|}
Aqui:
  • \theta é o ângulo entre os vetores \mathbf{u} e \mathbf{v}, tomado no intervalo [0,\pi].
  • \mathbf{u}\cdot\mathbf{v} é o produto escalar (dot product) entre \mathbf{u} e \mathbf{v}.
  • \|\mathbf{u}\| e \|\mathbf{v}\| são as normas (comprimentos) dos vetores \mathbf{u} e \mathbf{v}.
Pequena explicação do porquê: o produto escalar relaciona como dois vetores apontam na mesma direção; normalizando pelos comprimentos obtemos o cosseno do ângulo entre eles, e \theta fica entre 0 e \pi (ou seja, de 0^\circ até 180^\circ).

Passo 3

Aplicar a fórmula ao caso de vetores de sentidos contrários. Seja \mathbf{v} um vetor qualquer e considere o vetor oposto -\mathbf{v}. Então:
\mathbf{v}\cdot(-\mathbf{v}) = -(\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}) = -\|\mathbf{v}\|^2.
Substituindo na fórmula do cosseno:
\cos\theta=\frac{-\|\mathbf{v}\|^2}{\|\mathbf{v}\|\,\|\,-\mathbf{v}\,\|}.
Mas \|\,-\mathbf{v}\,\|=\|\mathbf{v}\|, logo
\cos\theta=\frac{-\|\mathbf{v}\|^2}{\|\mathbf{v}\|^2}=-1.
Portanto \theta=\operatorname{arccos}(-1). Como \cos\pi=-1, segue que
\theta=\pi\\ \text{radianos}.

Passo 4

Interpretação geométrica e exemplo concreto: vetores de sentidos contrários ficam sobre a mesma linha, apontando em direções opostas — isso corresponde exatamente a um ângulo de 180^\circ, isto é, \pi radianos. Exemplo simples: \mathbf{v}=(1,0) e -\mathbf{v}=(-1,0). O produto escalar é -1, normas iguais a 1, então \cos\theta=-1 e \theta=\pi.

Resposta

Verdadeiro.

Exercícios relacionados